Aufgabe:
1) Zeige, dass selbstadjungierte und unitäre Operatoren normal sind.
2) Zeige, dass (T-λI) normal ist.
Problem/Ansatz:
1)
selbstadjungiert: T = T*
unitär: TT* = T*T = I
normal T*T = TT*
Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll, weils ja doch schon aus der Definition ersichtlich ist?
2)
normal T*T = TT*
¯λ Strich über λ
Sei λ ∈ ℂ: TT* = T*T und (T-λI)* = (T* - ¯λI)
TT* = (T-λI) (T-λI)* =
= (T-λI) (T* - ¯λI)
= TT* - λT* - ¯λT - λ¯λI
= T*T - λT* - ¯λT - λ¯λI
= (T* - ¯λI) (T-λI)
= T*T
--> (T-λI) ist normal.
Stimmt 2) so?
