Normal stehende Gerade herausfinden

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade g: 2x₁-x₂=6.

Ermitteln Sie eine Gleichung einer zu g normalen Geraden h durch den Punkt P=(3|0)

Lösung: h=

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bitte einen Ansatz, wie ich die Aufgabe angehen kann, da ich leider auch nach längerem Kopfzerbrechen nicht darauf komme.

Answer 1

Ermitteln Sie eine Gleichung einer zu g normalen Geraden h durch den Punkt \(P(3|0)\)

\(2x_1-x_2=6\)

\(y=2x-6\)     \(m_N=-0,5\)

\( \frac{y-0}{x-3}=-0,5 \)

\(y=-0,5x+1,5 \)

Comments

Dankeschön! Doch wie komme ich auf die Steigung m?

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Das Produkt zweier Steigungen die senkrecht zueinander sind beträgt -1

m₁ * m₂ = -1

oder die eine Steigung ist der negative Kehrwert der anderen Steigung

m₂ = -1 / m₁

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Wenn ihr die Analytische-Geometrie mit Vektoren nutzt, dann solltest du dir aber trotzdem nochmals meine Lösung ansehen.

Ich vermute du hast es immer noch nicht verstanden, dass du ohne Rechnung die Parameterform notieren kannst.

Answer 2

Du hast damit einen Stütz- und einen Richtungsvektor und kannst die Gerade direkt ohne Rechnung aufstellen.

h: X = [3, 0] + r·[2, -1]

Comments

Danke! Doch woher weiß ich, dass ich die Zahlen 2 und -1 nehmen muss? Ist die Gleichung g von der Form c=n₁p₁+n₂p₂? Und falls ja, ist n₁ dann 2 und n₂ dann -1?

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g ist in der Form

n₁x₁+n₂x₂ = c

und ja n₁ = 2 und n₂ = -1. Das ist doch der Normalenvektor der Geraden. Also der zur Geraden senkrechte Richtungsvektor.

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Muss ich also nicht den Vektor (1;2) statt (2;-1) nehmen? (1;2) ist ja ein Normalvektor des Richtungsvektors von g (2;-1)...

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(2; -1) ist der Normalenvektor der Geraden und (1; 2) ist ein Richtingsvektor der Geraden. Wenn du also ein Richtungsvektor von (1; 2) nimmst dann sind wir parallel zur Geraden und nicht senkrecht.

Schau dir das doch mal in der Grafik in der Antwort von Moliets an.

Answer 3

Im zwei dimensionalen Koordinatensystem

x1= x

x2= y

2x-y = 6

y= 2x-6

n(x) = mx+b

m= -1/2

-1/2*3+b=0

b= 3/2

n(x) = -1/2*x+3/2

Comments

Dankeschön! Doch wie komme ich auf die Steigung m?

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Es gilt:

m1*m2= -1

m2= -1/m1

m1 ist die Steigung von f(x) = y= 2x-6

-> m1= 2 -> m2= -1/2 = -1/2

Die Normale hat als Steigung den negativen Kehrwert der Steigung der Geraden, auf der sie senkrecht steht.