Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene. Gerade normal auf Ebene?

Question

Gegeben sind die Gleichungen einer Ebene E: X = (1/0/-2)+ s*(3/2/-1)+ t*(1/2/1) und die Gerade g: X = (5/2/3)+ v*(-1/1/-1).

Untersuche, ob die Gerade g normal zur Ebene E ist und begründe deine Vorgehensweise. 

Ich rechne das Kreuzproduk von den Richtungsvektoren der Ebene e aus und multipliziere das Ergebnis danach mit dem Richtungsvektor der Gerade. So bekomme ich beim Skalarprodukt -6 raus.

Doch dieses Ergebnis stimmt nicht, wieso? Ich bitte um schnelle Hilfe. :-)

Answer 1

Berechne zwei Skalarprodukte:

Richtungsvektor der Geraden * 1. Richtungsvektor der Ebene

und

Richtungsvektor der Geraden * 2. Richtungsvektor der Ebene

Wenn beide Male 0 rauskommt, steht g senkrecht (normal) auf E. Sonst nicht.

Grund: Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht auf allen Vektoren der Ebene stehen.

Es genügt aber, das mit 2 Vektoren der Ebene (die nicht parallel zueinander verlaufen) testet.

Comments

Die -6, die du rausbekommen hast, ist das mit einem Vorzeichen versehene Volumen des von den 3 Richtungsvektoren aufgespannten" Parallelepipeds" ( Quader oder schräg verzogener Quader).

Dass keine 0 rauskommt, bedeutet nur, dass die 3 Vektoren nicht in einer Ebene liegen. Du kannst daher ausschliessen, dass g parallel zu E (oder in E) verläuft.

Nachtrag: Ich habe angenommen, dass du -6 richtig berechnet hast.