Kostenfunktion: Gewinnschwelle, Maximal Gewinn, etc

Question

Vielleicht könnte mir jemand beim beantworten dieser Fragen helfen:

Aufgabenstellung:

Die Kosten für die Herstellung einer Menge x (in 1'000 Stück) eines Produktes belaufen sich (in Fr.) auf:

              K(x) = 30x³ - 250x² + 1'200x + 10'000 .

Die Einnahmen (in Fr.) für eine verkaufte Menge x (in 1'000 Stück) dieses Produkts betragen:

              E(x) = 8'000x - 600x² .

Bei den folgenden Fragestellungen soll davon ausgegangen werden, dass stets die gesamte Produktion verkauft werden kann.

Aufgabe:

a) Welcher Gewinn ergibt sich aus der Produktion von 5'000 Stück des Produkts?

b) Welche Funktion G(x) beschreibt den Gewinn (in Fr.) für eine produzierte Menge x (in 1'000 Stück)?

c) In welchem Bereich muss die produzierte Menge liegen, damit Gewinn erwirtschaftet wird?

d) Bei welcher produzierten Stückzahl ist der Gewinn maximal und wie gross ist dieser maximale Gewinn?

Ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfenund bin dafür sehr dankbar.

LG

Answer 1

K(x) = 30x^3 - 250x^2 + 1200x + 10000
E(x) = 8000x - 600x^2

a) Welcher Gewinn ergibt sich aus der Produktion von 5'000 Stück des Produkts?

b) Welche Funktion G(x) beschreibt den Gewinn (in Fr.) für eine produzierte Menge x (in 1'000 Stück)?

Hier schon einmal ein paar Ergebnisse.

c) In welchem Bereich muss die produzierte Menge liegen, damit Gewinn erwirtschaftet wird?
1.62 .. 9.14 ME ( Newton-Verfahren )

d) Bei welcher produzierten Stückzahl ist der Gewinn maximal und wie gross ist dieser maximale Gewinn?

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Die weiteren Ergebnisse
Max Gewinn bei 5.633 ME
Max 11836 Fränkli

Bei Bedarf weiterfragen.

Answer 2

Das könnte wie folgt aussehen:

a) Welcher Gewinn ergibt sich aus der Produktion von 5000 Stück des Produkts?

G(x) = E(x) - K(x) = (8000·x - 600·x^2) - (30·x^3 - 250·x^2 + 1200·x + 10000)
G(x) = -30·x^3 - 350·x^2 + 6800·x - 10000

G(5) = - 30·5^3 - 350·5^2 + 6800·5 - 10000 = 11500 Fr.

b) Welche Funktion G(x) beschreibt den Gewinn (in Fr.) für eine produzierte Menge x (in 1000 Stück)?

wurde bereits unter a) notiert.

c) In welchem Bereich muss die produzierte Menge liegen, damit Gewinn erwirtschaftet wird?

G(x) = -30·x^3 - 350·x^2 + 6800·x - 10000 = 0 → x = 1.625543677 ∨ x = 9.140924698 (∨ x = -22.43313504)
Die Menge muss im Bereich von 1626 bis 9140 Stück liegen.

d) Bei welcher produzierten Stückzahl ist der Gewinn maximal und wie gross ist dieser maximale Gewinn?

G'(x) = -90·x^2 - 700·x + 6800 = 0 → x = 5.633663938 = 5634 Stück (∨ x = -13.41144171)
G(5.634) = 11836.49 Fr.

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Vielen Dank für ihre Hilfe!

Wollte Fragen ob Sie mir eventuell die einzelne Schritte zum Resultat vom c) zeigen könnten, da ich diese noch nicht ganz verstehe?

Gruss

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-30·x^3 - 350·x^2 + 6800·x - 10000 = 0 algebraisch lösen erfordert etwas Aufwand. Wenn ihr einen Taschenrechner benutzen dürft dann macht man das meist damit oder mit einem dir bekannten Näherungsverfahren. Welche ihr hattet weiß ich nicht.