wenn K einen Nullteiler besitzt, es also a,b aus K\{0} gibt mit a*b=0
dann sind die konstanten Polynome a,b auch Nullteiler im Polynomring.
Umgekehrt: Wenn im Polynomring etwa
p=anxn + an-1xn-1+ …. + a1x + ao und
q = bmx^m + bm-1xm-1+ …. + b1x + bo
vorhanden sind mit mit p*q = Nullpolynom
Dann gilt ja ao*bo=0 und hätte K keine Nullteiler,
müsste ja ao=0 oder bo=0 gelten.
Wären beide 0 könnte man bei beiden Polynomen das
x ausklammern und hätte für die Klammern das gleiche wie
am Anfang. Sei also nur einer (etwa bo=0 ) dann gilt ja:
Für den Koeffizienten bei x im Produktpolynom gilt aber
a1*bo +b1*ao . Und das ist ja dann 0.
Wäre also etwa bo=0 dann hätte man b1*ao=0
und weil ao ≠ 0 ist, wäre also auch b1=0 .
Hätte also K keine Nullteiler könnte man so immer weiter
argumentieren, dass eines der Polynome das Nullpolynom sein müsste.
