Ein Ideal ist eine additive Untergruppe des Rings und
bzgl. jedem r∈R abgeschlossen.
Also etwa bei 1. hast du ja:
0 (Also das 0-Polynom) in I, . Das stimmt.
und sind zwei Elemente aus I, etwa f und g
dann ist ja f(3) = f'(−2) = 0 und g(3) = g'(−2) = 0
und du musst überlegen, ob Entsprechendes für f+g gilt.
also (f+g)(3) = (f+g)'(-2) = 0 .
Dem ist so, weil (f+g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0
und (f+g)'(-2) = f'(-2) +g'(-2) = 0 + 0 = 0
und zu jedem das additive Inverse in I, also
f ∈ I ==> - f ∈ I . Das zeigt man entsprechend.
bzgl. jedem r∈R abgeschlossen kann man so zeigen:
Seien f ∈ I und p ∈ [x].
Dann gilt (f*p)(3) = f(3)*p(3) = 0*p(3) = 0
und (f*p)'(-2) = f(-2)*p'(-2) + f'(-2)*p(-2)
= f(-2)*p'(-2) + 0*p(-2)
= f(-2)*p'(-2)
Und ob das nun gleich 0 ist, kann man wohl nicht sagen.
Schade, dann ist I doch kein Ideal.
Bei dem 2. muss man wieder alles prüfen. Ich versuche mal Kurzform:
0 (Also das 0-Polynom) in I, . Das stimmt.
zwei Elemente aus I, etwa f und g dann ist ja f(1)*f(2) = 0 und g(1)*g(2) = 0
(f+g)(1)*(f+g)(2) = (f(1) + g(1))* (f(2) + g(2))
= f(1)*f(2) + f(1)*g(2) + g(1)*f(2) +g(1) *g(2)
= 0 + f(1)*g(2) + g(1)*f(2) + 0
= f(1)*g(2) + g(1)*f(2)
Nun liefert aber f(1)*f(2) = 0 ja nur f(1)=0 oder f(2)=0
und entsprechend hast du auch g(1)=0 oder g(2)=0
Wären aber etwa f(1) und g(2) beide nicht 0, würde es
nicht klappen, also ist das wohl wieder kein Ideal.
