vermutlich hattet ihr sowas wie:
Jedes lin. unabhängige System von Vektoren aus V lässt sich zu
einer Basis ergänzen. und auch:
Hat ein Unterraum von W die gleiche Dimension wie W,
dann ist er auch gleich W.
Dann kannst du so argumentieren: Seien W, U und V wie beschrieben
und sei dim W = 1 + dim U und sei H ein Untervektorraum
von V mit U ⊆ H ⊆ W .
Sei v1,...,vn eine Basis von U, dann sind v1,...,vn
auch linear unabhängig in H.
Somit bilden v1,...,vn entweder schon eine Basis von H,
dann wäre dim H = dim U und damit H=U.
Oder v1,...,vn lassen sich zu einer Basis von H
ergänzen. Diese Basis besteht aber nun aus
Vektoren, die wegen H ⊆ W auch in W linear
unabhängig sind, also wegen dim W = n+1 nicht
mehr als n+1 sein können. Somit sind es genau
n+1 und damit ist das auch eine Basis von W.
Somit H=W.
Sei umgekehrt bekannt: Ist H ein Untervektorraum von
V mit U ⊆ H ⊆ W, so ist H = U oder H = W.
Dann gilt: Sei v1,...,vn eine Basis von U.
Wegen U ⊆ W sind v1,...,vn auch lin.
unabhängig in W und weil lt. Vor.
U ungleich W ist, ist v1,...,vn keine Basis von W.
Lässt sich aber zu einer Basis von W ergänzen.
Wenn man nur einen der zu ergänzenden Vektoren
zu v1,...,vn hinzufügt , erhält man n+1 linear
unabhängige Vektoren, die somit Basis eines
Unterraumes H sind, für den gilt U ⊆ H ⊆ W.
Damit ist H=W ( denn H=U kann nicht sein, da
dim H > dim U ) . Also gilt dim W = 1+dim U
da durch Hinzunahme eines Vektors aus einer
Basis von U eine von W wurde. q.e.d.
