U,W UVR von V dim v = 11

Question

Aufgabe:

Seien U, W UVR von V Teilraume des K–Vektorraums V mit dim V = 11, dim U = 5 und dim W = 9.

Sei weiter F : U → W linear.

a) Bestimmen Sie: dim V/U

b) Geben Sie scharfe Grenzen an:               ≤ dim(U ∩ W) ≤

c) F : U → W ist genau dann injektiv, wenn gilt: dim Bild F =

Answer 1

b)   dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)

==>    dim(U+W)=14-dim(U∩W)

Wegen W⊆U+W⊆V folgt

   9 ≤ dim(U+W) ≤11

==>   9 ≤ 14-dim(U∩W) ≤11

==>  -5 ≤-dim(U∩W) ≤-3

==>  3 ≤ dim(U∩W) ≤ 5