Aufgabe:
Beweisen Sie Bemerkung 2.2.12 aus der Vorlesung: Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U ≤ V . Dann ist U = V genau dann, wenn dim(U) = dim(V ).
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Aufgabe 13.2 Sei \( v \) ein endlich dimensionaler \( \mathbb{K}-V R \) und \( U \leq V \). Dann is
\( u=v \quad g \cdot d \cdot \omega \quad \operatorname{dim}(u)=\operatorname{dim}(v) \)
z.z. ist: " \( \Rightarrow " \) sei \( u=v \), dann ist jecle Basis van \( u \) auch eive Basis vonV und ungekeht. d.h jede zasis in \( U \) die Glaicle Anzall \( n \) von Velloren hat wie die Basis von \( V \) und ungehehrt \( \Rightarrow \) Also \( \operatorname{dim}(u)=\operatorname{dim}(v) \)
\( "=" \) Sei \( \operatorname{dim}(U)=\operatorname{dim}(V) \), damn hat jede Basis in U dü Gleiche Anzahl n Vellocen wie die Basis von \( V \) und Ungekenst.
Sei num \( B=\left\{u_{n}, \ldots, u_{n}\right\} \) aine Basis won \( U, d . n . B \) ist l.u. und da \( U \leq V \) ist 3 auch in \( V \), sodan \( B \) zu anes zasis won \( V \) erweitert werden pann, also \( C \cdot\{\underbrace{u_{n}, \ldots, u_{n}}_{u_{n}}, v_{1} \ldots, v_{m}\} \)
Da 3 aber schion aus nVeletoren besteht und \( \operatorname{dim}(V)=n \), "können beive weiteren veltoren zu \( B \) hinzugefügr werden, dine l.u. zu vertieren \( \rightarrow \) acso B ist demnach schon Basis ion V sodan \( u=v \)
Ist dieser Beweis so ok?
