Kern durch die Angabe einer Basis des vektorraumes bestimmen

Question

Kann mir jemand erklären wie das funktioniert?

gegeben ist die folgende lineare Abbildung: F₁ : V → W

Man bestimme den Kern (F₁) durch die Angabe einer Basis dieses Vektorraumes.

V = W = ℝ^3

$$ F I \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { x + 2 y + 5 z } \\ { y - 2 x } \\ { x + z } \end{array} \right) , v = \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { - 3 } \\ { 4 } \end{array} \right) $$

Answer 1

der Kern von  F  besteht aus denjenigen Vektoren  (x,y,z) ∈ ℝ³  für die gilt
F((x,y,z)) = (0,0,0). Zur Bestimmung des Kerns ist daher folgendes LGS zu lösen:
(1)  x + 2y + 5z = 0
(2)  -2x  + y  = 0
(3)  x + z = 0
Die Lösung ist  (t,2t,-t)  mit  t ∈ ℝ. Also ist  {(1,2,-1)}  eine Basis von Kern(F).

Comments

Hallo danke!!!  hab jetzt auch die dazugehörige Formel endlich im Skriptum gefunden :)

jetzt besagt mein Skriptum, dass die Abbildung Injektiv ist wenn der Kern F{0}.

das stimmt ja schon mal nicht .. kann mir jemand sagen ob die Abbildung surjektiv oder bijektiv ist ?

Wie kann man das bestimmen ? ist zwar nicht teil der Aufgabe aber würde mich interessieren :)

Vielen Dank ! Lg

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F  ist surjektiv, wenn es zu  (a,b,c) ∈ ℝ³  ein  (x,y,z) ∈ ℝ³  gibt mit  F((x,y,z)) = (a,b,c).
Es muss also gelten
(1)  x + 2y + 5z = a
(2)  -2x + y = b
(3)  x + z = c.
Dieses LGS lässt sich umformen zu
(1')  x + 2y + 5z = a
(2')  y + 2z = b + 2c
(3') 0 = -a + 2b + 5c,
hat also keine Lösung, falls  a ≠ 2b + 5c  ist. Daher ist  F  nicht surjektiv.