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Konvergenz und Grenzwertbetrachtung von Folgen \(a_{n} = nx - \lceil nx \rceil\)
Zur Überprüfung der Konvergenz und zur Bestimmung des Grenzwerts der gegebenen Folge \(a_{n}= nx - \lceil nx \rceil\) müssen wir uns zunächst mit der Definition und der Bedeutung der gegebenen Terme auseinandersetzen. In der Aufgabe scheint ein kleines Missverständnis in der Notation vorzuliegen: es wird \(\lceil x \rceil\) verwendet, was üblicherweise die kleinste ganze Zahl bedeutet, die größer oder gleich \(x\) ist (Obergrenze). Stattdessen sollte möglicherweise \(\lfloor x \rfloor\) genutzt werden, um die größte ganze Zahl zu bezeichnen, die kleiner oder gleich \(x\) ist (Untergrenze). Die korrigierte Darstellung für die Folge lautet daher \(a_{n}= nx - \lfloor nx \rfloor\) mit \(\lfloor x \rfloor := \max\{n \in \mathbb{Z} | n \leq x\}\).
Die Funktion \(\lfloor x \rfloor\) rundet \(x\) stets zur nächsten kleineren oder gleichen ganzen Zahl ab. Das bedeutet, dass der Ausdruck \(nx - \lfloor nx \rfloor\) den dezimalen (fraktionalen) Teil von \(nx\) darstellt, da \(\lfloor nx \rfloor\) den ganzzahligen Teil entfernt und somit \(0 \leq nx - \lfloor nx \rfloor < 1\) für alle \(x\) und \(n\) gilt.
Kern der Überlegung:
- Da \(0 \leq nx - \lfloor nx \rfloor < 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}\), liegt der Wert von \(a_n\) immer im Intervall \([0, 1)\).
Konvergenz:
- \(a_n\) konvergiert nicht im üblichen Sinne zu einem festen Wert außerhalb des Intervalls \(0 \leq a_n < 1\), da der Dezimalteil von \(nx\) variieren kann, je nachdem, wie \(x\) und \(n\) sich zueinander verhalten.
- Für ganzzahlige \(x\), also wenn \(x \in \mathbb{Z}\), wird \(a_n = nx - \lfloor nx \rfloor = 0\), weil \(nx\) selbst dann ganzzahlig ist und somit keinen Dezimalteil besitzt.
Ohne spezifische Informationen über \(x\) kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Folge eine Nullfolge ist und gegen 0 konvergiert, es sei denn, es wird explizit angegeben, dass \(x\) eine ganze Zahl ist. Generell schwankt \(a_n\) basierend auf dem Dezimalteil von \(nx\), was bedeutet, dass die Folge für nicht-ganzzahlige \(x\) Werte innerhalb von \([0, 1)\) annimmt und somit nicht strikt gegen 0 konvergiert.
Fazit:
Die Annahme, dass \(a_n\) generell eine Nullfolge ist und gegen 0 konvergiert, hält nur unter der Bedingung stand, dass \(x\) eine ganze Zahl ist. Für nicht-ganzzahlige Werte von \(x\) zeigt die Folge ein anderes Verhalten, und ihre Werte bleiben innerhalb des Bereichs \([0, 1)\), ohne gegen einen spezifischen Grenzwert zu konvergieren. Somit muss, um die Konvergenz zu beweisen oder zu widerlegen, spezifisch der Wert von \(x\) betrachtet werden.
