Grenzwertbetrachtung mit Rechnungsweg?

Question

Hallo!

ich habe eine Frage zu folgender Rechnung:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{(4/3)^n}{5^n} \) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{(4/3)^n}{(4/3)^n·(15/4)^n} \)

= \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{(15/4)^n} \) = 0

Meine Frage ist wie man auf die \( \frac{15}{4} \) kommt?

Danke für eure Antworten!

Answer 1

$$\frac{(4/3)^n}{5^n} = \left( \frac{4/3}{5} \right)^n = \left( \frac{4}{15} \right)^n = \frac{1}{\left( \frac{15}{4} \right)^n}$$

Comments

Danke hab's verstanden !:)

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Potenzgesetze inkl. eine Beweisskizze für natürliche, pos. gebrochene usw. Exponenten: https://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)#Peculiarit%C3%A0_ed_esempi .

Gründlicher und allenfalls abschreckend wegen der Textlänge auf Deutsch: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze .

Answer 2

n ausklammern:

[4/3)/5]^n = (4/15)^n = (15/4)^-n -> Nullfolge

Comments

Oder: Statt ausklammern wendet man folgendes Potenzgesetz an:

$$\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n$$

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Ich bitte abakus darum, die Antworten von Gast2016 nicht mehr zu kommentieren, auch wenn diese evtl. nicht ganz korrekte mathematische Formulierungen haben.

Ich vermute jeder weiß, dass wenn man den Exponenten aus dem Zähler und Nenner nimmt und gemeinsam an den Bruch schreibt das das die Anwendung eines Potenzgesetzes ist. Allerdings sagen viele Schüler dazu auch das man den Exponenten ausklammert auch wenn dieses so nicht korrekt ist

Solange also alle wissen, was gemeint ist, kann man durchaus etwas toleranter sein.

Und Gast216 bitte ich persönliche Beleidigungen zu unterlassen. Formulierungen wie ein Benutzer hat nicht mehr alle Tassen im Schrank oder ein Benutzer sei ein Arschloch sind hier im Forum fehl am Platz.

Answer 3

Hallo,

das Ziel ist (4/3)^n auch im Nenner stehen zu haben.

Ich betrachte jetzt die Zahlen ohne den gemeinsamen Exponenten n:

5 = 4/3 • 3/4 • 5 = 4/3 • 15/4

:-)