Hi,
abschnittsweise definierte Funktionen sind meistens ein Beispiel für nicht stetige Funktionen. Und bei diesen Funktione ist es wichtig zu wissen von welcher Seite man sich der kritischen Stelle nähert. Z.B. $$ f(x)=\begin{cases} -1 & \text{für } x\le 0 \\ 1 & \text{für } x \gt 0 \end{cases} $$ Nähert man sich von links dem Wert 0 ist f(x)=-1 und nähert man sich von rechts dem Wert 0 ist f(0)=1
Das ist ja auch der Grund, warum für die Stetigkeit gefordert wird, das rechtseiteger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen müssen.
Das gilt aber auch für den Wert h den Du erwähnt hast, wie Du an meinem Beispiel siehst.
Meiner Meinung nach kann der Lehrer nicht fordern das Du nur Nullfolgen betrachtest, das ist mathematischer Unsinn. Unterschieden werden muss nur nach rechts- und linksseitigem Grenzwert.
Hilft das weiter?