Lehrer will bestimmten Lösungsweg (Grenzwertbetrachtung)!?!

Question

wir haben in der Fachoberschule abschnittsweise definierte Funktionen, und haben immer Nullfolgen genutzt.


Also Lim h->0 und x war 2 hieß es dann das (2-h) für x einzusetzen ist.
Ich war jetzt bei meiner Nachhilfe und habe mir es noch mal anders erklären lassen, dass man einfach lim x↑2 nimmt. Also x strebt gegen 2 von links.

Jetzt habe ich meine Lehrkraft gefragt, ob man es auch so berechnen kann, da ich es um einiges einfacher fand.

Sie meinte das geht nicht bzw. will sie es nicht und mir würden dann Punkte fehlen.
Ist das wirklich so? Dachte solange man das Ergebnis hat ist alles ok und da kann sie doch nicht einfach falsch nehmen oder? Mir geht es da um die Prüfung und die Bewertung.


Vielen Dank

Answer 1

Hi,

abschnittsweise definierte Funktionen sind meistens ein Beispiel für nicht stetige Funktionen. Und bei diesen Funktione ist es wichtig zu wissen von welcher Seite man sich der kritischen Stelle nähert. Z.B. $$  f(x)=\begin{cases} -1 & \text{für } x\le 0 \\ 1 & \text{für } x \gt 0 \end{cases} $$ Nähert man sich von links dem Wert 0 ist f(x)=-1 und nähert man sich von rechts dem Wert 0 ist f(0)=1

Das ist ja auch der Grund, warum für die Stetigkeit gefordert wird, das rechtseiteger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen müssen.

Das gilt aber auch für den Wert h den Du erwähnt hast, wie Du an meinem Beispiel siehst.

Meiner Meinung nach kann der Lehrer nicht fordern das Du nur Nullfolgen betrachtest, das ist mathematischer Unsinn. Unterschieden werden muss nur nach rechts- und linksseitigem Grenzwert.

Hilft das weiter?

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So habe ich es mit meinem Nachhilfelehrer gemacht. Gibt es daran etwas auszusetzen? Also das man nicht mit h rechnet sondern gleich der Wert nähert sich von links zur 2.

Answer 2

Also Lim h->0 und x war 2 hieß es dann das (2-h) für x einzusetzen ist.
Ich war jetzt bei meiner Nachhilfe und habe mir es noch mal anders erklären lassen, dass man einfach lim x↑2 nimmt. Also x strebt gegen 2 von links. Das stimmt schon. Aber dich interessiert ja schlussendlich nicht nur das x sondern vor allem der Grenzwert des Terms von dem der Limes gesucht ist.

Also Lim h->0 und x war 2 hieß es dann das (2-h) für x einzusetzen ist.

Eben nun muss man x-Werte nahe bei 2 und links von 2 einsetzen. Das ist dann mit 2-h der Fall.

Abkürzen kann man nur, wenn die Funktion in x=2 'stetig' ist (ich hoffe mal, dass du weisst, was das heisst) oder z.B., wenn man eine Definitionslücke rauskürzen konnte.

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So habe ich es gemacht. Gibt es daran etwas auszusetzen? Sie möchte halt statt lim x von links zu 2, dass wir h gegen unendlich und x durch (h-2) ersetzen. Wobei -h dann eh in der Rechnung weg fällt.

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Wenn ihr noch nicht gezeigt habt, dass Polynome stetig sind, musst du das nachrechnen. D.h. z.B. (2-h) einsetzen und dann h gegen 0 gehen lassen.

Ansonsten kannst du mit der Stetigkeit argumentieren und die 2 gleich einsetzen. Am besten schreibst du da dann aber dazu, dass du benutzt, dass Polynome stetig sind.

Was meinst du mit der Rechnung rechts oben? und dem Pfeil von oben nach unten? Setzt du da Stetigkeit über die Bereichsgrenze hinaus einfach voraus?

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x war für diese kleiner gleich 2 und da hab ich diese dann eingesetzt.  Ich habe die 8 dann eingesetzt zum Gleichsetzen, um später im Gleichungssystem a und b zu errechnen. oder ist da was falsch?

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Wenn die stückweise definierte Funktion in x=2 stetig sein soll, kannst du so zu einer Gleichung kommen.
Nachgerechnet habe ich jetzt nichts. Ich kenne ja die Aufgabenstellung im Einzelnen gar nicht. Rechne vielleicht nochmals nach.