Zeige, dass für die Hammingkugeln eines beliebigen Paares von Vektoren v, w ∈ (Fp) stets gilt

Question

Aufgabe:

Sei p eine Primzahl und n ∈ N. Zeigen Sie, dass für die Hammingkugeln eines beliebigen Paares von Vektoren v, w ∈ (Fp) stets gilt:

\( \left|\mathcal{B}_{1}\left(v,\left(\mathbb{F}_{p}\right)^{n}\right) \cap \mathcal{B}_{1}\left(w,\left(\mathbb{F}_{p}\right)^{n}\right)\right| \in\{0,2, p, 1+n \cdot(p-1)\} \)

Comments

die Frage wurde durch ein Beispiel beweisen,das ist bei uns nicht erlaubt!

Answer 1

v und w ist der Mittelpunkt
=> Abstand v, w (|Fn²|),

z.B. ist

$$ F_{3}² = { \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} }$$

Also ist:
$$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Das ist zumindest der Hinweis, den wir dazu bekommen haben. Warum (1,0) + (2,0) = (0,0) bleibt auch im Dunkeln. Vielleicht weil 1 + 2 = 3 ist und der Rest zu 3 dann gleich 0.