Schwierigkeiten bei der Begründung: Die Zerfallsgeschwindigkeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge

Question

Aufgabe:

e) Begründe: Die Zerfallsgeschwindigkeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge

(Die "Menge" bezieht sich auf ein radioaktives Präparat aus dem Strontium-Isotop ^90 Sr)

Problem/Ansatz:

Ich habe als Antwort jetzt erst mal:

Die Zerfallsgeschwindigkeit entspricht der Änderungsrate, welche wiederum proportional zur Anzahl noch nicht zerfallender Kerne ist.

Ist das so richtig? Wenn ja, muss noch was ergänzt werden? Wenn nicht, was wäre richtig? ;)

Ich danke im Voraus!

Answer 1

Strontium-90 hat laut Wikipedia eine Halbwertszeit \(T_{1/2}\approx 28.79\) Jahren. Das Zerfallsgesetz ist demnach: \(N(t)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28.79}}\). Die Ableitung der Funktion ist \(N'(t)=\underbrace{\frac{1}{28.79}\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)}_{\text{Propotionalitätskonstante}}\cdot \underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{28.79}}}_{=N(t)}\). Noch einmal zur Erinnerung: \(N'(t) \sim N(t) :\Leftrightarrow N'(t)=k\cdot N(t)\). Hierbei sei \(k\) die Propotionalitätskonstante.

Damit sollte die Propotionalität gezeigt sein.

Answer 2

Der Zerfall ist eine Exponentialfunktion.
Hier eine x-beliebige Funktion
z ( t ) =  z0 * e ^(k*t)
vorhandene Menge = Anfangsmenge * ...

Zerfallsgeschwindigkeit  = 1. Ableitung
[ z ( t ) ] ´ = [ z0 * e ^(k*t) ] ´
[ z ( t ) ] ´ = z0 * e ^(k*t)  * k
[ z ( t ) ] ´ = z ( t )  *  k
Die Zerfallsgeschwindigkeit ist proportional
zur noch vorhandenen Menge

Comments

Die mathematische Begründung steht doch
schon in meiner Antwort

m ( t ) = 30 * e^(-0,062 * t )
Zerfallsgeschwindigkeit = 1.Ableitung
m ´( t ) = 30 * e^(-0,062 * t ) * (-0.062)
m ´( t ) = m ( t ) * (-0.062)
Die Zerfallsgeschwindigkeit m ´( t ) ist proportional
zur noch vorhandenen Menge m ( t ).
Proportionalitätsfaktor  - 0.062.

mfg Georg

Answer 3

Die Zerfallsgeschwindigkeit entspricht der Änderungsrate, welche wiederum proportional zur Anzahl noch nicht zerfallender Kerne ist.

Sollst du mathematisch / physikalisch / chemisch oder nochmals anders begründen?

Zerfallsgeschwindigkeit = (Anzahl Zerfälle) / (Zeitspanne)

Jeder noch nicht zerfallene Kern hat zu jedem Zeitpunkt die gleiche Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten Zeitspanne (z.B. innerhalb der nächsten 10 Minuten) in ... zerfallen.

Rechnet man diese Wahrscheinlichkeit mal die Anzahl der nicht zerfallenen Kerne, so bekommt man eine Schätzung für die Zahl der Kerne, die in den nächsten 10 Minuten (oder andere Zeitspanne) zerfallen.

Comments

Zerfallsgeschwindigkeit = (Anzahl Zerfälle) / (Zeitspanne)

Da dreht sich mir der Magen um.

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@hj: Durchschnittsgeschwindigkeit oder Momentangeschwindigkeit?

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In einer ähnlichen Aufgabe (mit radioaktivem Caesium) soll ich auf jeden Fall mathematisch begründen. Die Aufgabe lautet hier:

Begründen Sie mathematisch, warum die Zerfallsgeschwindigkeit von der Menge der vorhandenen Substanz abhängt.

Das Zerfallsgesetz habe ich vorher bereits aufgestellt, dies lautet hier:

m(t) = 30e^(-0,062t)

Für einen Lösungsvorschlag wäre ich sehr dankbar!

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Vielleicht so:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30e%5E(-0.062t)

f(t) =  30 * e^(-0.062t)        | 30 ist die vorhandene Masse.

f ' (t) = 30 * (-0.062) * e^(-0.062t)  | 30 ist Faktor der Ableitung von f.

f ' (t) =  (-0.062) * (30 * e^(-0.062t) )  |

30 * e^(-0.062t) ist die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge

Daher hängt (mathematisch) die Zerfallsgeschwindigkeit (proportional) von der vorhandenen Masse ab.

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Stimmt, das könnte gehen... Vielen Dank!

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Bitte. Gern geschehen! Der mathematische Teil stand eigentlich schon in den andern Antworten :)