Diagonalisieren - Zusammenhang zwischen den Matrizen qi und qi^t

Question

Aufgabe:

Man hat eine Matrix A (3x3) gegeben und ich habe dazu das charakterschwach Polynom, die Eigenwerte, die Eigenwerte berechnet.

Dazu dann die Eigenvektoren orthogonalisiert und normiert damit ich eine Matrix Q entwickle. Diese habe ich dann transponiert und dann so die Diagonalmatrix berechnet und mit der Matrix aus den Eigenwerten verglichen. Dann habe ich A noch durch die untenstehende Umformung berechnet als Probe. Bis hier hin alles gut.

Doch jetzt komme ich nicht weiter. In der Angabe steht: Aus D=Q^tAQ berechne A=QDQ^t, also 

A= (q1....qn) \( \begin{pmatrix} λ1 & 0 & 0 \\ 0 & λ2 & 0 \\ 0 & 0 & λ3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} q1t\...\\qnt \end{pmatrix} \)

= λ1q1q1^t + .... + λnqnqn^t

Was kann über die Matrizen q_i q_i^tgesagt werden? 

Problem/Ansatz:

Bitte um Hilfe bei dieser Frage! Danke !

Answer 1

Hi,

die Diagonalmatrix D ergibt sich unteranderem durch die Umformung von A= S*D* \( S^{-1} \), wobei S für die Basis der Eigenvektoren steht und \( S^{-1} \) für die Inverse der Basis der Eigenvektoren.

Du kannst den Term A= S*D* \( S^{-1} \) umformen, in dem du z.B.: von rechts oder von links dran multiplizierst.

A= S*D* \( S^{-1} \) | von rechtes * S  (\( S^{-1} \) *S = En, die Einheitsmatrix)

AS= S*D |von links * \( S^{-1} \)

\( S^{-1} \)AS=D

Comments

Das ist mir schon klar. Es geht um den Schluss:

A = λ1q1q1^t + .... + λnqnqn^t

^{Und was man über die Matrizen q}_i ^{und q}_i^t sagen kann?