Wie beweist man, dass (ℝ\ℚ) ∩(x,y) ≠∅ mit x,y∈ℝ

Question

Ich habe gezeigt, dass die Menge ℝ\ℚ überabzählbar ist, impliziert das nicht, dass es kein Intervall x<z<y geben kann, dass (ℝ\ℚ)=∅.

Aber wie schreibe ich das formal auf?

Comments

Als Tipp kam hier den Satz 4.8 zu Hilfe nehmen.

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Hmm, hast du geschafft, die Aufgabe zu lösen? Mir fehlt nur noch die. Ich werde heute Abend nochmal genau darüber nachdenken.

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Ok, bin selbst darauf gekommen.

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Super, dass du es geschafft hast. Nein, ich habe es nicht geschafft. Ich brauche es zum Glück nicht. Ich Stürze mich jetzt mal aufs nächste Blatt.

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Beweis:

Sei \(q\in\mathbb{Q}\), so dass \(q(y-x)>2\). Daraus folgt die Existenz eines \(z\in \mathbb{Z}\), sodass \(qx<z<qy \Leftrightarrow x<\frac{z}{q}<y\).  Damit wurde bewiesen, dass es mindestens eine rationale Zahl zwischen \(x\) und \(y\). Wir können nun zwei rationale Zahlen \(x'\) und \(y'\) finden mit \(x<x'<y'<y\).