Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden

Question

Aufgaben

Es muss der kürzeste Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden gefunden werden und die Punkte berechnet werden auf den Geraden, welche den Abstand bilden. Die Vektoren sind: (7/-3/14) +s*(4/3/1) und (5/7/-1)+t*(4/5/2)

Problem/Ansatz: unklar wie man fortfahren muss, nachdem Verbindungsvektor gebildet. Lösung sollte 18 geben.

Comments

(7/-3/14) +s*(4/*/1) 

was steht hier?

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Nein sollte 3 sein

Answer 1

(7/-3/14) +s*(4/*/1) und (5/7/-1)+t*(4/5/2)

Ist der "*" als y-Koordinate im Richtungsvektor der ersten Geraden richtig?

Comments

Nein sollte 3 sein, habe es zuerst falsch geschrieben

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[4, 3, 1] ⨯ [4, 5, 2] = [1, -4, 8]

[7, -3, 14] + r·[4, 3, 1] + s·[1, -4, 8] = [5, 7, -1] + t·[4, 5, 2] --> r = -1 ∧ s = -2 ∧ t = -1

Die Punkte sind

[7, -3, 14] - 1·[4, 3, 1] = [3, -6, 13]

[5, 7, -1] - 1·[4, 5, 2] = [1, 2, -3]

Der Abstand beträgt

|-2·[1, -4, 8]| = 18

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Ich verstehe nicht was sie in dieser Spalte gemacht haben:

[7, -3, 14] + r·[4, 3, 1] + s·[1, -4, 8] = [5, 7, -1] + t·[4, 5, 2] → r = -1 ∧ s = -2 ∧ t = -1

Muss nicht s und t gleich gesetzt werden und ein Verbindungsvektor gemacht werden.

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[7, -3, 14] + r·[4, 3, 1] + s·[1, -4, 8] = [5, 7, -1] + t·[4, 5, 2]

Du gehst r Einheiten auf der ersten Geraden [7, -3, 14] + r·[4, 3, 1] und gehst dann s Einheiten auf dem Verbindungsvektor. s·[1, -4, 8]

Dann kommst du zu dem Punkt der Zweiten Geraden, den du auch erhältst wenn du t Einheiten auf der Zweiten Geraden gehst. [5, 7, -1] + t·[4, 5, 2]

Letztendlich ist das ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und drei unbekannten welches man recht einfach Lösen kann. Lösung kann man bei Bedraf auch mittels TR sofort durchführen.

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wenn ich das so einfüge erhalte ich r=5s+16, kann das stimmen?

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Wenn du was wie einfügst ?

Wenn ich in deine Gleichung

r = 5s + 16

für r  = -1 und für s = -2 einsetze ist die Gleichung nicht erfüllt. Daher zweifel ich diese Gleichung grundsätzlich an.

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ok vielen Dank