Zu zeigen: Einheitengruppe iA nicht zyklisch

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie anhand des Ringes R=ℤ/_8ℤ, dass die Einheitengruppe im Allgemeinen nicht zyklisch ist.

Problem/Ansatz:

Wir haben bereits zu zyklischen Gruppen folgendes aufgeschrieben:

Eine Gruppe (G,·) heißt zyklisch, wenn es ein x∈G gibt mit G={x^n|n∈ℤ}. Man schreibt dann auch G=⟨x⟩.

Und zu "Einheit":

Sei R ein kommutativer Ring. Ein Element a∈R heißt Einheit, falls ein b∈R existiert mit a·b= 1.

Soweit ich das verstehe, müsste das heißen, dass die zyklische Einheitengruppe (wenn sie denn existieren würde) von ℤ/_8ℤ Elemente enthalten müsste, deren Potenzen innerhalb von ℤ/_8ℤ 1 ergeben. Das würde ja doch immerhin auf die 1 zutreffen. Habe ich da etwas falsch verstanden?

Edit(Yakyu): Definition korrigiert.

Answer 1

Hi Nakriin,

Soweit ich das verstehe, müsste das heißen, dass die zyklische Einheitengruppe (wenn sie denn existieren würde) von ℤ/8ℤ Elemente enthalten müsste, deren Potenzen innerhalb von ℤ/8ℤ 1 ergeben.

Nicht nur das, die Potenzen eines Elements der Einheitengruppe müsste dann sogar alle Elemente ergeben. Mach dir also klar, wie deine Einheitengruppe aussieht und argumentier über die 1, dass dies nicht sein kann.

Gruß,

Answer 2

In \(\mathbb Z/8\mathbb Z\) gilt
  (1)  1 = 1·1 = 3·3 = 5·5 = 7·7
  (2)  0 = 2·4 = 4·6.
Die Einheitengruppe lautet also \(\mathbb Z/8\mathbb Z^*=\{1,3,5,7\}\) und jedes einzelne Element erzeugt eine echte Untergruppe, womit die Aussage gezeigt ist.