Der Schnitt E∩F zweier affiner Untterräume ist genau dann nicht–trivial

Question

Es seien E und F zwei affine Unterräume des A_n.

Zeigen Sie: Der Schnitt E∩F ist genau dann nicht–trivial, wenn es Punkte p ∈ E und q ∈ F mit( →pq)∈ (→E) + (→F)gibt

Ich weiß, dass der Schnitt zweier affiner Untteräume wieder ein affiner Untterraum ist, denn

Sei b∈E∩F <=> E=b+U ∧ F=b+W mit U,W UVR von V

Sei nun x∈E∩F

<=> x∈E ∧ x∈F

<=> x∈b+U ∧ x∈b+W

<=> x-b∈U ∧ x-b∈W

<=> x-b∈U∩W

<=> x∈b+U∩W
und damit E∩F=b+U∩W ein affiner Unterraum von V.
denn der Schnitt zweier Untervektorräume ist
selbst wieder ein Untervektorraum.

Wie aber zeige ich die Aussage, dass der Schnitt genau dann nicht trivial ist, wenn die obigen Bedingungen erfüllt sind?

Comments

Ich weiß, dass der Schnitt zweier affiner Untteräume wieder ein affiner Untterraum ist, denn

Das ist i.allg. falsch. Nur falls der Schnitt nichtleer ist.

Answer 1

Du fängst wieder ähnlich  an:

Sei b∈E∩F   und  E∩F  nicht trivial  (also nicht leer ? )

Es gibt p∈E und q∈F und U,W UVR von V

mit b=p+U  und  b=q+W  .

Also gibt es u∈U und w∈W

   b=p+u  und  b=q+w

<=>    p+u = q+w
<=>    q-b  = u-w

Und weil  u-w ∈U + W ist, folgt  q-p  ∈ U + W

also ( →pq)∈ U+W = (→E) + (→F).

Rückrichtung  wohl so ähnlich ?

Comments

Alles klar danke, dann versuche ich die Rückrichtung mal selber

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Ich habe gerade eine ähnliche Aufgabe und kann leider einen Schritt von dir mathef nicht nachvollzeigen. Wieso ist

<=>    p+u = q+w
<=>    q-b  = u-w

Müsste das nicht so heißen

<=>    p+u = q+w
<=>    q+b  = u-w

da man p ersetzt durch p=u-b???

Und stimmt deine Antwort dann trotzdem noch?

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Das war vertippt. Das b sollte ein p sein.