Wie finde ich die gesuchte symmetrische Matrix?

Question

Aufgabe:

Es sei die Funktion
$$f : \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right) \mapsto x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+5 x_{1} x_{2}+\sqrt{3} x_{3} x_{4}$$ sowie die Hessematrix $$hess\vec { x } =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & \sqrt { 3 }  \\ 0 & 0 & \sqrt { 3 }  & 8 \end{pmatrix}$$

gegeben.

$$Finden\quad Sie\quad eine\quad symmetrische\quad Matrix\quad \quad A\in { R }^{ 4\times 4\quad  }{ so,\quad dass\quad  }f(\vec { x } )=\vec { x } ^{ T }A\vec { x } $$
Problem/Ansatz:

könnte mir bitte Jemand erklären, wie ich diese Aufgabe beantworten kann. Ich finde einfach keinen Ansatz.

Vielen Dank

Answer 1

Vielleicht indem Du die Hälfte von dem was Du Heesematrix nennst nimmst?

Comments

Hallo wächter,

darüber habe ich auch schon nachgedacht, da ich mal so etwas in der Vorlesung gehört habe (kurzer Kommentar) allerdings wüsste ich nicht warum dies gilt.

Weiter kann ich ja schlecht $(x_1,x_2,x_3,x_4)^T*{A}^{4,4}*(x_1,x_2,x_3,x_4) rechnen, jedenfalls würde ja nichts sinnvolles bei rauskommen?

Liebe Grüße

Anja

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Doch, da kommt genau das "raus" was Du Du brauchst.

Stichworte dyadisches Produkt und Bilinearform...

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Ich stehe etwas auf dem Schlauch, wie soll das gegen, man kann doch keine 4x1 Vektor mit einer 4x4 Matrix multiplizieren?

$$\vec { x } ^{ T }A\vec { x } =\quad \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 4 } \end{matrix} \right) *\begin{pmatrix} 1 & \frac { 5 }{ 2 }  & 0 & 0 \\ \frac { 5 }{ 2 }  & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 0 & 0 & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & 4 \end{pmatrix}*({ x }_{ 1 }{ ,x }_{ 2 }{ ,x }_{ 3 }{ ,x }_{ 4 })$$

Lg

Anja

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Zuerstmal musst Du das Produkt umgekehrt aufschreiben - der Transponierte x-Vektor "liegt" und der Vektor x selbst "steht" - dann klappt das auch mit der Multiplikation

x(1,4) A(4,4) x(4,1)

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Ach ich stehe wirklich auf dem Schlauch danke dir!

Zwei Fragen hätte ich aber noch.

Schreibt man den transponierten Vektor (x,y,z)^5 mit Komma oder eher ohne?

Und wie kommt man gerade darauf die HessMatrix durch zwei zu teilen um eine symmetrische Matrix zu bekommen?

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Die Schreibweise ist Konvention und solange sie eindeutig zu interpretieren ist wäre es mir egal....

Nun das Produkt x^T A x verteilt die quadratischen Faktoren x_i² auf die Diagonale a_ii und die gemischten Faktoren x_i x_j verteilen sich auf 2 Matrixelemente a_ij = a_ji (i<>j).