Bestimme die ursprüngliche Breite und Länge des Grundstücks.

Question

Verkürzt man die Grundstückslänge eines rechteckigen Grundstücks um 4 m, nimmt der Flächeninhalt um 80m² ab. Verkürzt man die Grundstücksbreite um 2m und vergrößert die Länge um 5m, nimmt der flächeninhalt um 30 qm zu. Bestimme die ursprüngliche Breite und Länge des Grundstücks.

Answer 1

Flächeninhalt eines Veierecks (A) = Breite (a) * Länge (b)

Verkürzt man die Grundstückslänge eines rechteckigen Grundstücks um 4 m, nimmt der Flächeninhalt um 80m² ab:

(a-4)*b = A - 80 = a*b - 80                    (1)

Verkürzt man die Grundstücksbreite um 2m und vergrößert die Länge um 5m, nimmt der Flächeninhalt um 30 m² zu:

(a-2)*(b+5) = A + 30 = a*b +30             (2)

 

Gleichung (1) nach b auflösen, ergibt:

(a-4)*b -a*b =  - 80

b*(a-4-a) = - 80

-4*b = - 80

b = 20

Gleichung (2) nach a umstellen:

(a-2)*(b+5) - a*b = 30

a*b + 5*a - 2*b + 10 - a*b = 30

5*a - 2*b = 40

5*a = 40 + 2*b

a = (40 + 2*b)/5 = (40 + 2*20)/5 = 16

 

Probe:

a*b = A = 16*20 = 320

Gleichung (1):  (16 - 4)*20 =  12*20 = 240 , A- 80 = 320 - 80 = 240 -> ok

Gleichung (2): (16-2)*(20+5) = 14*25 = 350, A + 30 = 320 + 30 = 350 -> ok

 

Comments

Kontrolliere doch, die länge wird vergössert die war in 1.  a.

(a+5)*(b-2)=ab-2a+5b-10

---

Stimmt, a mit b verwechselt. War aber trotzdem ein Rechengenuss .-)

Answer 2

Ich habe es einmal ein wenig veranschaulicht:

 

Da man weiss, dass 4 m * y = 80 m²; kann man y berechnen: 

y=80m²/4m=20m

 

Jetzt kann man mit der 2. Angabe weiterfahren:

Man weiss: (y-2m)*(5 +x m)=xy + 30m²

Für y kann man 20m einsetzten:

18m*(5 m+x m)= 90m² + 18 x = x*20m + 30 m²

Jetzt die gleichung auflösen:

Jetzt noch überprüfen, ob die Lösung stimmt...

Stimmt! ((20-2)m*(30+5)m=20m*30m+30m²=630)

 

Ich hoffe, du verstehst es jetzt und ich konnte dir helfen!

Simon

Answer 3

Vielleicht gibt es mehr als eine Lösung.

Der Flächeninhalt ist A= a*b

1. (a*b)-80=(a-4)*b

2. (a*b)+30=(a+5)*(b-2)

aus 1.folgt

      ab-80=ab-4b  |-ab./(-2)

            20=b

in 2.einsetzen

    (a*20)+30=(a+5)(20-2)

        20a+30=18a+90     |-18a ,-30

               2a=60               |/2

            a=30

Probe:    (30*20)-80=(30-4)*20

                     520     =520

               (30*20)+30=(30+5)*(20-2)

                       630=630

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks  waren a=30m und b=20m.