3 Fragen zu Vektorraum V: (1) V enthält nur Nullvektor. (2) V sein Unterraum ? (3) Darf V leer bzw. unendlich sein?

Question

Überlegung:

In einer Schrift, die ich lese, steht, bevor die additive Struktur des Vektorraums \(V\) festgelegt wird,
wird gefordert, dass der Vektorraum nicht leer ist. Also mindestens ein Element enthält. 

Da es aber eine Additive Struktur hat, müsste eine Addition mit zwei Elementen aus \(V\)gewährleistet sein. 

Fragen:

(1) Ist es korrekt, 
wenn ich sage, dass es reicht, wenn Nullvektor drin ist?
Weil ich kann ja den Nullvektor mit sich selbst (also dem Nullvektor aus \(V\) ) addieren, ich muss ja nicht unbedingt zwei verschiedene Vektoren addieren. 

Die Skalarmultiplikation muss dann mit dem Nullvektor aus \(V\) und Elementen aus dem zugrunde liegenden Körper \(K\) geschehen, was letztenendes auch klappt.  


(2) Ist V, wenn er nur den Nullvektor enthält dann auch gleichzeitig sein eigener Unterraum und zugleich Kern  ?


(3) Was passiert wenn V leer bzw. unendlich ist ? 

Answer 1

(1) ist korrekt!

(2) Genau, zum beispiel ist ℝ ein Untervektorraum von dem ℝ-Vektorraum ℝ.

(3) Ist V leer, funktioniert die Addition nicht. Addition als Operation hat keine Bedeutung, wenn du keine Elemente hast, da Addition in Abhängigkeit von Elementen definiert ist.

V als unendliche Menge macht keinen Unterschied, solange alle Vektorraum Axiome erfüllt sind. Beispiel: ℝ ist ein Vektorraum mit unendlich vielen Elementen, was alle Vektorraum Axiome erfüllt.

Ich hoffe, dass meine Antwort etwas hilft. :)