Als elektronische Werkzeuge noch nicht jeder Schülerin und jedem Schüler griffbereit zu Verfügung standen, konnte die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren mit sogenannten Teilbarkeitsregeln vereinfacht werden. Hier unterschied man Endstellenregeln für die Primzahlen 2 und 5 sowie Quersummenregeln für die Primzahlen 3 und 11.
Da es im Mathematikunterricht heute vor allem um Anwendungen geht, sind Teilbarkeitsregeln kein Unterrichtsthema. Wenn es aber um das Erlebnis mathematischen Wissensgewinns ginge, könnte man der Frage nachgehen:
Für welche Primzahlen kann es überhaupt Quersummenregeln geben?
Dies ist in erster Linie eine zahlentheoretische Fragestellung und Zahlentheorie ist kein Schulstoff, obwohl C. F. Gauß in ihr (er nannte sie Arithmetik) die Königin der Mathematik gesehen hatte. Von einer gaußschen Sicht auf die Mathematik sind wir im heutigen Mathematikunterricht weiter entfernt, als im vergangenen Jahrtausend.
Die Antwort auf die gestellte Frage lautet: Quersummenregeln gibt es für Primteiler natürlicher Zahlen 10n±1. Für n=1 ergeben sich die Teilbarkeitsregeln für 3 und für 11. Die Teilbarkeitsregel für 3 gehörte am Anfang dieses Jahrtausends noch zum Schulstoff, seltener die Teilbarkeitsregel für 11.
Für n=2 ergeben sich Teilbarkeitsregeln für Primteiler von 10²-1=99 (also nichts Neues) und für 10²+1=101. Die Teilbarkeitsregel für den Primteiler 101 erfordert die Einführung des Begriffes ‚alternierende 2-Quersumme‘. Dieser Begriff sei an einem Beispiel erläutert:
Die zu zerlegende Zahl wird in Zweierblöcke aufgeteilt. Bei ungerader Stellenzahl ist links eine 0 zu ergänzen. Und vor jeden der Zweierblöcke wird rechts beginnend abwechselnd – und + geschrieben. Dann hat 54237 die alternierende 2-Quersumme -05+42-37=0. Nun gilt der Satz:
Eine Zahl ist durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2-Quersumme durch 101 teilbar ist. Wie gesagt hat 54237 die alternierende 2-Quersumme 0 und ist folglich durch 101 teilbar.
Für n=3 gibt es Quersummenregeln für die Primteiler von 10³-1=3³·37, also für 3 und 37. Für n=3 gibt es außerdem Quersummenregeln für die Primteiler von 10³+1=7·11·13, also für 7, 11 und 13.
Dies ist insofern eine attraktive Aussicht, weil sich dann für die fünf kleinsten Primzahlen 2, 5, 7, 11 und 13 Quersummenregeln formulieren lassen.
Eine Zahl ist genau dann durch 7, 11 und 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3-Quersumme durch 7, 11 und 13 teilbar ist.
Exemplarisch gehen wir der Frage nach: Ist 599456 durch 7, 11 oder 13 teilbar? Zur Beantwortung wird der Begriff der alternierenden 3-Quersumme vorgeführt. Wir teilen die Zahl 599456 in Blöcke zu je 3 Ziffern und geben diesen abwechselnd positive und negative Vorzeichen: +599-456=143 (die sogenannte alternierende 3-Quersumme). Und aus 143 = 11·13 dürfen wir nach letztgenanntem Satz schließen: 599456 ist durch 11 und durch 13, aber nicht durch 7 teilbar.
Zurück zum zuvor genannten Fall des Teilers 37:
Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn ihre 3-Quersumme durch 37 teilbar ist. Beispielsweise hat 21015482 die 3-Quersumme 021+015+482=518 und 518=14·37. Folglich ist 21015482 durch 37 teilbar.
Da bereits die letztgenannten Teilbarkeitsregeln unhandlich und nur selten anwendbar sind, kann man die Suche nach Teilbarkeitsregeln an dieser Stelle abbrechen. Im Zeitalter digitaler Werkzeuge erübrigt sich die Suche nach Teilbarkeitsregeln ohnehin. Die Streichung selbst elementarster Zahlentheorie aus dem Schulstoff ist aus Sicht des Autors allerdings trotzdem zu bedauern.
