Bestimmen der Orthonormalbasis

Question

Aufgabe: Im euklidischen Vektorraum ℝ⁵ mit dem Standardskalarprodukt sei der Untervektorraum U mit der Basis ((1,2,3,1,1)^T , (1,3,2,1,2)^T ) gegeben.

Problem/Ansatz: Wie bestimmt man die Orthonormalbasis von U und von U ^⊥ ?

Vielen Dank schonmal!

Comments

Hallo

 das Gram-Schmidt Verfahren solltest du kennen, oder sonst nachsehen.

Gruß lul

Answer 1

Wie bestimmt man die  (besser wohl EINE ) Orthonormalbasis von U und von U^⊥ ?

Für U nicht so wild:  Sind a, b die gegebenen Basisvektoren, dann

nimm den ersten Basisvektor wie er ist und bilde einen zweiten

(wegen dim=2 hat jede Basis nur 2) durch den Ansatz

a*(a+*xb) = 0

a*a + x*a*b = 0

Es ist ja :

a*a= 16  und a*b=16, also   x=-1

Dann hast du als orthogonale Basis   a und a-b , also

((1,2,3,1,1)^T , (0,-1,1,0,-1)^T ) .

Die musst du noch normieren, das gibt

(0,25*(1,2,3,1,1)^T , (1/√3)*(0,-1,1,0,-1)^T ) .

Dann bestimmst du eine Basis von U^T und wendest Gram-Schmidt an.

Comments

Dankeschön!

Und wie komme ich nun auf die Basis von U^⊥ ?

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U^⊥  das sind alle die auf allen Elementen von U

senkrecht stehen. Dazu reicht es, dass sie mit den Basisvektoren

das Skalarprodukt 0 haben. Es ist also der Lösungsraum vom

homogenen Gl-system

  x1 + 2*x2 + 3*x3 + x4 + x5 =0 
   x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0

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Ich verstehe nicht, wie du das meist...

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In U^⊥ sind alle Vektoren von ℝ⁵ , die mit den Basisvektoren von U

das Skalarprodukt 0 haben.   Ist also  x =

x1
x2
x3
x4
x5

so ein Vektor, dann gilt x*a = 0  und x*b = 0 , also

x1 + 2*x2 + 3*x3 + x4 + x5 =0 
x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0

bzw. in Stufenform

x1 + 2*x2 + 3*x3 + x4 + x5 =0 
           x2   - x3              x5 = 0

Für die Lösungen dieses Gl-Systems kann man

x3=r  x4=s  und x5=t  frei wählen und bekommt

x2 = x3 - x5 = r - t  und entsprechend  x1 = -5r +t -s

Also sehen die alle so aus

-5r + t - s
   r-t
    r
    s
    t

oder auch so geschrieben

     -5              -1                    1
     1                0                   -1
r * 1      + s *   0        +  t *     0
     0                 1                   0
     0                0                    1

und da siehst du deine drei Basisvektoren

für U^⊥ .  

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Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.