Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, \(\displaystyle v\in V\) und \(\displaystyle f:V\rightarrow V\) ein Endomorphismus. Der normierte Erzeuger \(\displaystyle m_{f,v}(x)\) des Ideals \(\displaystyle \{p(x)\in K[x]:p(f)(v)=0\}\) heißt das Minimalpolynom von f bei v. Zeigen Sie unter der Voraussetzung \(\displaystyle v\ne 0\) die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(a) v liegt in einem f-invarianten Unterraum der Dimension k, aber in keinem f-invariante Unterraum kleinerer Dimension.
(b) \(\displaystyle v,f(v),...,f^{k-1}(v)\) sind linear unabhängig, aber \(\displaystyle v,f(v),...,f^{k-1}(v),f^k(v)\) sind linear abhängig.
(c) Es gibt Polynome \(\displaystyle p\in K(x)\) mit \(\displaystyle p(f)(v)=0\) vom Grad k, aber kein solches Polynom mit kleinerem Grad.
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll, vermutlich läuft das über einen Ringbeweis. Wir haben aber noch nicht einmal einen f-invarianten Unterraum definiert und im Skript steht auch nichts dazu, deswegen fühle ich mich ein wenig verloren bei der Aufgabe.
Niveau: Lineare Algebra 2 Lehramt
