Zeigen Sie, dass Kern(p( f )) ein f -invarianter Unterraum ist.

Question

Sei V ein K-Vektorraum f ∈ End(V), p = a0 + Ta1 + ... + T^{n}an ∈ K[T] und p(f) = a0idv + a1 f + ... + an f^n . Zeigen Sie, dass Kern(p( f )) ein f -invarianter Unterraum ist.

Answer 1

Sei \(v\in Kern(p(f))\). Dann ist \(p(f)(v)=\sum_{i=0}^na_if^i(v)=0\),

wobei \(f^0=id\) ist.

Zu zeigen ist: \(f(v)\in Kern(p(f))\).

Wegen der Linearität von \(f\) und der Assoziativität der Hinterainanderausführung

von Abbildungen bekommt man:

\(p(f)(f(v))=\sum_{i=0}^na_if^i(f(v))=\sum_{i=0}^na_if(f^i(v))=\)

\(=f(\sum_{i=0}^na_if^i(v))=f(0)=0,\quad \)q.e.d.