Sind X und Y disjunkt, so gibt es voneinander verschiedene parallele Hyerebenen, die X und Y enthalten.

Question

Ich brauche mal eure Hilfe. Seien X und Y zwei affine Unterräume des Aⁿ.

Sind X und Y disjunkt, so gibt es voneinander verschiedene parallele Hyerebenen, die X und Y enthalten.

Seien X ∩Y= ∅.

Seien dim X = n und dim Y= n-1 mit X= p+U₀ und Y= q+ U(H)

Dann ist

dim X +dim Y = dim(X∪Y) + dim(U₀ ∩U(H)) -1

⇒ dim U₀= dim X =dim(U₀ ∩U(H)) ⇒ U₀ ⊂ U(H)

Also sind X und Y paralle Hyperebenen.

Stimmt der Beweis so?

Answer 1

Deinen Beweis verstehe ich

- ehrlich gesagt - nicht.

Seien dim X = n und dim Y= n-1 …...

Das ist doch nicht vorausgesetzt, sondern nur

Seien X und Y zwei affine Unterräume des Aⁿ und X ∩Y= ∅.

Vielleicht kann man so anfangen:

Also gibt es nichttriviale Unterräume U und V

(beide Dimensionen im Bereich 1 bis n-1)  von ℝⁿ und

p∈X und q∈Y  mit  X=p+U und Y=q+V.

Dann sind die gesuchten Hyperebenen wohl

p+(U+V) und q+(U+V).

Dass X und Y jeweils enthalten sind, muss man wohl noch beweisen.

Comments

Oh man schade. Und wie fange ich dann den Beweis an? Also wie zeige ich, dass X und Y in p+(U+V) und q+(U+V) enthalten sind?

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Sei z ∈ X ==>  Es gibt u ∈ U mit z = p+u .

Weil aber auch  u ∈ U + V ist,

 ist auch z aus p +U+V.

Nur denke ich, dass da noch was fehlt.

Denn Hyperebenen sind das wohl nur, wenn U+V

die Dim = n-1 hat.

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Also kannst du es mir auch nicht genau sagen wie der Beweis funktioniert?

Weil ich hätte auch gesagt dass man wissen muss dass die Dimension n-1 ist

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Ah ich habs jetzt glaub verstanden. Es gibt Unterräume X=p+U und Y= F+U

Dann nimmt man an, dass pq ein Element der linearen Hülle von UV ist und beweist das mit Widerspruch.

Deshalb gibt es dann einen linearen Unterraum W mit dim W=n-1 und es gilt

X ⊆p+W und Y ⊆q+W und die beiden affinen Unterräume p+W und q+W sind paralle Hyperebenen

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Das hört sich in der Tat clever an.