Zeige, dass es genau eine Identität verschiedene Bewegung f von Rn existiert, sodass f(x) = x für alle x ∈ E.

Question

Hi, ich habe folgende Aufgabe und einfach keine Ahnung.

Gegeben ist die affine Hyperebene E ⊂ Rⁿ

1. Zeige, dass es genau eine Identität verschiedene Bewegung f von Rⁿ existiert, sodass f(x) = x für alle x ∈ E.

2. Zeige, dass x ~ y ⇔ [xy] schneidet E nicht.

3. Zeige, dass die Bewegung aus 1. jede der beiden Äquivalenzklassen aus 2. auf die entsprechend andere abbildet.



Hat jemand eine Ahnung, wie das geht? Wie geht man daran?

Vielen Dank im voraus!

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Kein Interesse an meiner Antwort?

Answer 1

Das, was ich hier von mir gebe, muss technisch noch

ausgefüttert und präzisiert werden.

Da \(E=b+H\) ist mit einem \((n-1)\)-dimensionalen

Unterraum von \(V=\mathbb{R}^n\) und einem \(b\in V\),

betrachten wir der Einfachheit statt \(E\) den in den

Ursprung verschobenen Unterraum \(H\).

Alle zu \(H\) nachgewiesenen Eigenschaften, lassen sich

dann durch die Translation \(+b\) als Eigenschaften von \(E\)

begründen.

1. Eine (z.B. per Gram-Schmidt gewonnene) Orthonormalbasis von \(H\)

lässt sich durch einen Vektor aus \(H^{\perp}\), also einen

Normalenvektor von \(H\) zu einer Basis von \(V\) ergänzen.

In dieser hat die darstellende Matrix von \(f\) die Diagonalgestalt

\(diag(\pm 1, 1\cdots, 1)\). Daher ist \(diag(-1,1,\cdots,1)\) die richtige Wahl.

2. \([x\;y]\cap H=\emptyset\) bedeutet für \(x,y\notin H\) dass die beiden Punkte

(Vektoren) auf derselben Seite der Hyperebene liegen, die ja

\(V\) in zwei Halbräume teilt.

3. Eine Spiegelung wie unser \(f\) an der Hyperebene spiegelt

die Elemente der einen Seite auf die Elemente der anderen Seite.