Strahlensatz mittels Koordinaten der Affinen Ebene bestimmen.

Question

Aufgabe:

$$g_{1}, g_{2} $$zwei Geraden mit Schnittpunkt S und x, y zwei weitere Geraden.$$ $$Seien$$ g_{1} \cap x= \left\{X_{1}\right\}, g_{2} \cap x=\left\{X_{2}\right\} $$und$$ g_{1} \cap y=\left\{Y_{1}\right\}, g_{2} \cap y=\left\{Y_{2}\right\}, $$sodass$$ O, X_{1}, X_{2} und O, Y_{1}, Y_{2} $$jeweils paarweise disjunktiert sind.$$ $$

Es gilt für $$x \parallel y$$

$$ \frac{O X_{1}}{O Y_{1}}=\frac{O X_{2}}{O Y_{2}} $$

Nun soll man mittels Koordinaten diesen Strahlensatz beweisen.

Ansatz:

Ich würde Prinzipiell ein mal $$(X_{1}, X_{2})$$ als Basis nehmen und damit arbeiten. Dann könnt ich theoretisch jeden Punkt in der von $$SX_{1} und SX_{2}$$ aufgespannten Ebene definieren als $$αX_1+βX_2$$

Jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich jetzt weiterkomme und schlussendlich $$ \frac{O X_{1}}{O Y_{1}}=\frac{O X_{2}}{O Y_{2}} $$ beweisen soll

Ist mein erster Post hier, ich hoffe ich hab die Darstellung mit Latex halbwegs richtig hinbekommen,

mfg,

Spiegel

Answer 1

Hallo,

zunächst einmal muss in Deinen Ausführungen \(O=S\) sein, damit alles passt. Und dann solltest Du ausnutzen, dass \(\vec{X_1X_2} \parallel \vec{Y_1Y_2}\) ist. Weiter ist \(\vec{SY_{1,2}}\) kollinear zu \(\vec{SX_{1,2}}\). D.h. man kann voraussetzen, dass$$\vec{SY_1} = r \cdot\vec{SX_1}, \quad \vec{SY_2} = s \cdot\vec{SX_2} \\ \vec{Y_1Y_2} = u \cdot \vec{X_1X_2}$$mit \(r\), \(s\) und \(u \in \mathbb R\). Weiter ist offensichtlich, dass$$ \vec{SY_2} = \vec{SY_1} + \vec{Y_1Y_2}$$Nun reduziere dieses Gleichungssystem derart, dass nur eine Gleichung mit \(\vec{SX_1}\) und \( \vec{X_1X_2}\) sowie den drei Parametern \(r\), \(s\) und \(u\) übrig bleibt.

Anschließend setze Deine Erkenntnisse in die Verhältnisgleichung ein.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

Erstmal Vielen DANK für deine Antwort, mir ist jetzt schon einiges klarer geworden.

Ich würde dann auf folgende Gleichung kommen:

$$ s \cdot\vec{SX_2} = r \cdot\vec{SX_1} + u \cdot \vec{X_1X_2} $$

Leider weiß ich jetzt nicht ganz wie ich mit dieser Gleichung weiterkomme wenn ich nämlich in die Verhältnisgleichung einsetze würde ich auf so etwas kommen:

$$ \frac{SX_{1}}{r \cdot SX_{1} } = \frac{SX_{2}}{s \cdot SX_{2}} $$

Wenn ich jetzt das oben errechnete einsetze würde ich folgendes erhalten:

$$\frac{SX_{1}}{r \cdot SX_{1} } = \frac{SX_{2}}{r \cdot{SX_1} + u \cdot{X_1X_2}}$$

Jedoch weiß ich leider nicht wie ich hier weiterkomme

Könntest du mir vlt noch einen Hinweis geben?

lg. Spiegel

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Ich würde dann auf folgende Gleichung kommen: $$s \cdot\vec{SX_2} = r \cdot\vec{SX_1} + u \cdot \vec{X_1X_2}$$Jedoch weiß ich leider nicht wie ich hier weiterkomme

konsequenter Weise solltest Du \(\vec{SX_2}\) auch noch aus \(\vec{SX_1}\) und \( \vec{X_1X_2}\) ausdrücken. Es ist doch $$\vec{SX_2} = \vec{SX_1} + \vec{X_1X_2}$$das setze ich oben ein und erhalte$$\begin{aligned} s \cdot \left( \vec{SX_1} + \vec{X_1X_2}\right) &= r \cdot\vec{SX_1} + u \cdot \vec{X_1X_2} \\ (s-r) \vec{SX_1} &= (u-s)\vec{X_1X_2}\end{aligned}$$und da \(\vec{SX_1}\) und \(\vec{X_1X_2}\) linear unabhängig sind, ist diese Gleichung nur lösbar, wenn \(s-r=0\) und \(u-s=0\) und daraus folgt$$s=r=u$$De Rest sollte jetzt kein Problem mehr sein.

Dein ursprünglicher Ansatz ist u.U. sogar einfacher. Ich vereinfache nun auch die Schreibweise - es sei z.B. \(\vec{SX_1} = X_1\) u.a. entsprechend. Die Parameter \(r\), \(s\) und \(u\) bleiben wie oben. Dann ist doch$$\begin{aligned} Y_1 + (Y_2-Y_1)&= Y_2 \\ r X_1 + u(X_2-X_1) &= sX_2 && \text{wg. } x \parallel y\\ (r-u)X_1&= (s-u)X_2\end{aligned}$$gleiche Folgerung wie oben gibt wieder \(r=s=u\) usw.

Gruß Werner

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Danke für deine schnelle Antwort!!

Hab jetzt glaub ich fast alles verstanden!!

das heißt im Endeffekt zeig ich, dass:

$$\frac{SX_{1}}{r \cdot SX_{1} } = \frac{SX_{2}}{s \cdot SX_{2}}$$

und weil r = s muss das Verhältnis stimmen richtig?

Gruß,

Spiegel

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... und weil r = s muss das Verhältnis stimmen richtig?

so ist es :-)