Volumen eines Würfel mit Aussparungen berechnen

Question

Guten Tag Zusammen

Was mache ich hier falsch?

Aufgabe: In einen massiven Holzwürfel mit der Kantenlänge a werden in der Mitte jeder Seitenfläche durch den Mittelpunkt des Würfels gehende quadratische Aussparungen mit der Seitenlänge s gefertigt.

a)Berechnen Sie das Volumen des verbleibenden Restkörpers.

Mein Versuch:

Vges = a³

Höhe der einzelnen Aussparungen pro Seite: (a-s)/2

Fläche der Aussparung ist: s²

Da ja ein Würfel 6 Seiten besitzt, muss man ja das so rechnen (denke ich):

(((a-s)/2) *s² )*6 = 3as²-3s³

So gesamt bedeutet das:

a³-3as²+3s³

Jedoch ist es laut den Lösungen falsch. Es sollte nämlich so aussehen:

a³-3as²+2s³

Was mache ich falsch?

Answer 1

In einen massiven Holzwürfel mit der Kantenlänge a werden in der Mitte jeder Seitenfläche durch den Mittelpunkt des Würfels gehende quadratische Aussparungen mit der Seitenlänge s gefertigt.

a)Berechnen Sie das Volumen des verbleibenden Restkörpers.

V = a^3 + 3*s^2*a - 2*s^3

Answer 2

Höhe der einzelnen Aussparungen pro Seite: (a-s)/2

Fläche der Aussparung ist: s²

Wenn du mit 6 Aussparungen rechnest, dann hast du in der Mitte des a-Würfels einen s-Würfel übrig. Der muss noch mit ausgespart werden.

Answer 3

An der Stelle die Fläche von der Oberfläche zu berechnen ist etwas überflüssig, leichter geht es, direkt das Volumen (und was davon abgezogen werden muss) zu bestimmen.

Also a^3 für den Würfel selbst.

Davon müssen wir zunächst die Aussparungen abziehen. Diese haben als Grundfläche s^2 und a in der räumlichen Tiefe. Somit ist eine dieser Aussparungen mit as^2 zu bestimmen. Da so ein Würfel aber 6 Seiten hat, wovon jeweils 2 gegenüber liegen, haben wir 3 dieser ausgesparten Quader.

Die Formel bis hierhin lautet also:

a^3 - 3as^2

Jetzt müssen wir nur noch berücksichtigen, dass wir einen kleinen Bereich in der Mitte 3x vom Gesamtvolumen abgezogen haben und deswegen 2x wieder hinzuaddieren müssen. Da das besagte Stück ein Würfel mit der Kantenlänge s in alle 3 Raumrichtungen ist, lauten seine Maße s^3.

Die komplette Formel lautet also:

V= a^3 - 3as^2 + 2s^3