Antwort mit KI erzeugt
Mengenkalkül, Teilmengen, Beweis oder Gegenbeweis
Für jede der gegebenen Behauptungen wird gezeigt, ob sie wahr ist, indem die linke und rechte Seite der Gleichungen analysiert oder ein Gegenbeispiel (wenn nötig) bereitgestellt wird.
(a) Es ist \((A \times C) \cup (B \times D) = (A \cup B) \times (C \cup D)\)
Beweis:
Die linke Seite bildet die Vereinigung der kartesischen Produkte der Mengen A und C sowie B und D. Das bedeutet, es werden alle möglichen Paare gebildet, die entweder aus Elementen von A und C oder aus Elementen von B und D bestehen.
Die rechte Seite bildet das kartesische Produkt der Vereinigungen der Mengen A und B sowie C und D. Dies bedeutet, es werden alle möglichen Paare gebildet, die aus beliebigen Elementen der vereinigten Mengen A und B sowie C und D bestehen.
Die Gleichung ist nicht wahr in allen Fällen, da die linke Seite Elemente enthalten kann, die nicht auf der rechten Seite sind und umgekehrt.
Gegenbeispiel: Angenommen, \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{3\}\) und \(D = \{4\}\), dann ist:
\(
(A \times C) \cup (B \times D) = \{(1,3), (2,4)\}
\)
aber
\(
(A \cup B) \times (C \cup D) = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}
\)
Die Mengen sind offensichtlich nicht gleich.
(b) Es ist \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
Beweis:
Diese Gleichung ist wahr. Die linke Seite beschreibt die Vereinigung von A mit dem Durchschnitt von B und C. Das resultiert in einer Menge, die alle Elemente von A enthält sowie alle Elemente, die gleichzeitig in B und C vorhanden sind.
Die rechte Seite beschreibt den Durchschnitt zweier Vereinigungen: Einer von A und B und einer von A und C. Das bedeutet, Elemente müssen in (A oder B) und gleichzeitig in (A oder C) sein, was letztendlich dazu führt, dass alle Elemente in A sowie Elemente, die in B und C gemeinsam sind, enthalten sind.
Die Gleichheit gilt, da beide Seiten genau die gleichen Bedingungen an die Elemente stellen: in A oder gleichzeitig in B und C zu sein.
(c) Es ist \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)
Beweis:
Diese Gleichung ist wahr. Die linke Seite bildet das kartesische Produkt von A und dem Durchschnitt von B und C, inkludiert also Paare, deren erster Teil in A und deren zweiter Teil gleichzeitig in B und C ist.
Die rechte Seite beschreibt den Durchschnitt der kartesischen Produkte von A und B sowie von A und C. Ein Element (Paar) ist also dann enthalten, wenn sein erster Teil aus A und sein zweiter Teil sowohl in B als auch in C ist.
In beiden Fällen resultiert dies in derselben Menge von geordneten Paaren, wo der erste Teil aus A und der zweite Teil sowohl in B als auch in C ist.
(d) Es ist \(X \setminus (A \cup B) = (X \setminus A) \cap (X \setminus B)\)
Beweis:
Diese Gleichung ist wahr. Die linke Seite beschreibt die Differenzmenge von X und der Vereinigung von A und B, das heißt, sie enthält alle Elemente von X, die weder in A noch in B sind.
Die rechte Seite beschreibt den Durchschnitt der Differenzmengen von X und A sowie von X und B. Ein Element ist also dann enthalten, wenn es weder in A noch in B ist.
In beiden Fällen sind die entstehenden Mengen identisch, da sie exakt die Elemente von X enthalten, die nicht in A und nicht in B sind.
(e) Es ist \(A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus (A \cup C)\)
Beweis:
Diese Gleichung ist nicht wahr in allen Fällen. Die linke Seite vereinigt A mit der Differenzmenge von B und C, was zu einer Menge führt, die alle Elemente von A enthält sowie die Elemente von B, die nicht in C sind.
Die rechte Seite beschreibt die Differenzmenge der Vereinigung von A und B mit der Vereinigung von A und C, was bedeutet, dass Elemente aus (A oder B), die nicht in (A oder C) sind, enthalten sind.
Gegenbeispiel: Angenommen, \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), und \(C = \{1, 2\}\), dann ist:
\(
A \cup (B \setminus C) = \{1\} \cup \emptyset = \{1\}
\)
aber
\(
(A \cup B) \setminus (A \cup C) = \{1, 2\} \setminus \{1, 2\} = \emptyset
\)
Somit sind die Mengen nicht gleich, und die ursprüngliche Behauptung ist falsch.
