Aussagen zu linearen Abbildungen beweisen oder widerlegen

Question

Folgende Aussagen müssen bewiesen oder widerlegt werden:

1) Ist der Graph von f : R→R eine Gerade, so ist f eine R-lineare Abbildung

2) Für alle f,g : R^3 →R^3 gilt: Sind f und g nicht R-linear, so ist f +g nicht R-linear.

Answer 1

Die beiden Aussagen sind offensichtlich falsch. Gegenbeispiele:

1) f(x)=1. Konstante Funktion, der Graph ist also eine Gerade, aber f ist keine lineare Abbildung.

2) f(x,y,z) = (1,y,z), g(x,y,z)=(-1,y,z). Beide nicht R-linear, aber (f+g)(x,y,z)=(0,y,z) offenbar schon.