Lineare Abbildungen beweisen

Question

Aufgabe:

(a) f(av₁ + (1 − a)v₂) = af(v₁) + (1 − a)f(v₂) für alle a ∈ K, v1, v2 ∈ V

1)Erfüllt f die Bedingung (a) von Teil (1), und ist w ∈ W, so erfüllt auch die
Abbildung g : V → W, v → f(v) + w, die Bedingung (a).

2)Erfüllt  f die Bedingung (a), so gibt es eine lineare Abbildung g : V → W und
ein \( \vec{w} \)  ∈ W mit f(v) = g(v) + \( \vec{w} \)  fur alle v ∈ V .

Problem/Ansatz:

1)Heisst das dass ich die Additivität und Homogenität von g : V→  W f \( \begin{pmatrix} v1\\v2\end{pmatrix} \) :=(av1+(1-a)v2)+w bestimmen muss ?

2)und hier weiss ich nicht was mein g(v) ist. könnt ihr mir irgendwelche Ansätze geben bitte komme überhaupt nicht weiter

Kann mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

g : V → W, v → f(v) + w   und auch f : V → W, allerdings mit der

Eigenschaft und f(av1 + (1 − a)v2) = af(v1) + (1 − a)f(v2)

für alle a ∈ K, v1, v2 ∈ V.

Bedingung für g prüfen: Seien v1 , v2 aus V :

g(av1 + (1 − a)v2 )

= f(av1 + (1 − a)v2) + w  [ Bed. für f einsetzen,
                                        die ist ja erfüllt.]

= af(v1) + (1 − a)f(v2) + w

=  af(v1)  + f(v2) − af(v2) + w

=  af(v1)  − af(v2)  + + f(v2)+ w #

Vergleichen mit der rechten Seite der Bedingung für g

ag(v1) + (1 − a)g(v2)

= a*( f(v1)+w)  + (1 -a) ( f(v2) + w)

= af(v1) + aw +  f(v2) + w -a ( f(v2) + w)

=af(v1) + aw +  f(v2) + w -af(v2) - aw

=af(v1) +  f(v2) + w -af(v2)  also wie bei #.

Für b wähle w = f(0) und zeige unter

Ausnutzung der Bedingung für f, dass g(v)= f(v)-w

linear ( also homogen und additiv) ist.

Comments

Hallo, danke für deine Hilfe

bedeutet das w=f(0)=a*0+(1-a)*0=0 also w=0

und somit g(v)=f(v)-w=av₁ +(1-a)*v₂  -0 also av1 +(1-a)*v2

Und davon jetzt die Homogenität und Additivität zeigen?

Liebe Grüße

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bedeutet das w=f(0)=a*0+(1-a)*0=0 also w=0   NEIN !

Die Bedingung ist doch

f(av1 + (1 − a)v2) = af(v1) + (1 − a)f(v2)

also ergibt w=f(0) einfach nur

wenn für a und v1 und v2 gilt av1 + (1 − a)v2 = 0

Dann ist f(av1 + (1 − a)v2) = w und es ist

               af(v1) + (1 − a)f(v2) = w.

Homogenität von g zeigst du etwa so:

Seien a ∈ K und v ∈ V. zu zeigen g(a*v) = a*g(v).

Bew.: g(a*v) = f(a*v) - w

    = f(a*v + (1-a)*0) - w

jetzt Bed. verwenden

= af(v) + (1 − a)f(0) - w

= af(v) + (1-a)*w -w

=  af(v) + w - a*w - w

=  af(v)  - a*w

=  a ( f(v)  - w) 

= a*g(v)   . q.e.d.