Auf lineare Abbildungen überprüfen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (8 Punkte). Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind.
(i) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x+1 \)
(ii) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}, x_{1} x_{2}\right) \)
(iii) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(-x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}, 2 x_{2}+3 x_{3}, x_{1}-2 x_{3}\right) \)
(iv) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}-1,3 x_{1}-4 x_{2}+3\right) \)

Problem/Ansatz:

Bei der i) habe ich ein Gegenbeispiel gezeigt, sodass es keine lineare Abbildung ist. Wie soll ich bei den restlichen Aufgaben vorgehen? Die sind um einiges komplexer. Muss ich bei der ii) zum Beispiel beide Komponenten auf einmal betrachten? Wie zeige ich über dass es eine lineare Abbildung ist?

Answer 1

Hallo :-)

Deine Aussage zu i) ist richtig. Bei allen anderen hast du schon richtig erkannt, dass du nun alle Komponenten betrachten musst.

Comments

Ja, aber wie genau?

Also bei der ii) nehmen wir u=3, v=1 w=1

dann ist f(u+v) = 9, 3

aber was ist f(u) + f(v) + f(w)?

Beispielsweise: f(u)= 3+2*x2+4*x3, 3*x2 . Das ist ja kein richtiges Ergebnis oder wie muss ich das handhaben?

Bei der i) gab es nur 1 x, da war es leichter.

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Gucke bitte genau hin, was du für Elemente in deine Funktion einsetzt. Bei dir sind u,v,w reelle Zahlen. Aber die Funktion in ii) verlangt Elemente der Form \((x_1,x_2,x_3)\) als Eingabe.

Eine Eigenschaft der Linearität ist ja \(f(w+r)=f(w)+f(r)\); konkret hier \(w,r\in \R^3\). Überprüf das doch mal, ob das bei ii) wirklich immer gilt.

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Ok ich glaube ich habs, danke

Answer 2

Tipp: (i),(ii) und (iv) sind wohl nicht linear ?

Suche nach Gegenbeispiel. Z.B. muss eine lineare

Abbildung den Nullvektor auf den Nullvektor des Zielraumes

abbilden.

Comments

Mhh. Also bei der ii) nehmen wir u=3, v=1 w=1

dann ist f(u+v) = 9, 3

aber was ist f(u) + f(v) + f(w)?

Beispielsweise: f(u)= 3+2*x2+4*x3, 3*x2 . Das ist ja kein richtiges Ergebnis oder wie muss ich das handhaben?

Bei der i) gab es nur 1 x, da war es leichter.

Den Tipp mit dem Nullvektor kann ich bestimmt bei der iv) anwenden :D