Lineare Abbildungen/Unabhängigkeit

Question

Aufgabe

Sei L: V → V eine lineare Abbildung auf einem K-Vektotrraum V . Sei zusätzlich v∈V und n∈N mit
L^n (v) ̸= 0 und L^n+1 (v) = 0.
Zeigen Sie, dass v, L(v), . . . , L^n (v) linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Hab leider keinen Ansatz

Answer 1

vollst. Induktion über n  ??

Indanfang: Für n=1 wäre zu prüfen:

Wenn L (v) ̸= 0 und L²(v) = 0 dann v und L(v) lin. unabh.

Ansatz: a*v + b*L(v)=0   #

      ==>  L(a*v + b*L(v))=0

      ==>  a*L(v) + L(b*L(v))=0

      ==>  a*L(v) + b*L(L(v))=0

      ==>  a*L(v) + b*L^2 (v)=0  wegen L^2(v)=0

   =>  a*L(v) =0  wegen L(v)≠0 also a=0

Aus # folgt dann  b*L(v)=0  also auch b=0.

Insgesamt zeigt sich   v und L(v) lin. unabh.

So ähnlich geht wohl auch der Ind. schritt.