Aufgabe:
Seien \( U \subseteq \mathbb{R}^{n}, V \subseteq \mathbb{R}^{k} \) Unterräume von \( \mathbb{R}^{n} \) bzw. \( \mathbb{R}^{k} \). Sei \( f: U \rightarrow V \) eine lineare Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
a) Sind \( u_{1}, u_{2}, u_{3} \in U \) linear unabhängig, so sind auch \( f\left(u_{1}\right), f\left(u_{2}\right), f\left(u_{3}\right) \in \) \( V \) linear unabhängig..
b) Bilden \( u_{1}, u_{2}, u_{3} \in U \) ein Erzeugendensystem von \( U \), so sind auch \( f\left(u_{1}\right), f\left(u_{2}\right), f\left(u_{3}\right) \in V \) ein Erzeugendensystem von \( V \).
c) Es gilt: \( \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V \).
d) Es gilt: \( \operatorname{dim} U \geq \operatorname{dim} V \).