Abbildungen von Unterräumen - Aussagen beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

Seien \( U \subseteq \mathbb{R}^{n}, V \subseteq \mathbb{R}^{k} \) Unterräume von \( \mathbb{R}^{n} \) bzw. \( \mathbb{R}^{k} \). Sei \( f: U \rightarrow V \) eine lineare Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) Sind \( u_{1}, u_{2}, u_{3} \in U \) linear unabhängig, so sind auch \( f\left(u_{1}\right), f\left(u_{2}\right), f\left(u_{3}\right) \in \) \( V \) linear unabhängig..

b) Bilden \( u_{1}, u_{2}, u_{3} \in U \) ein Erzeugendensystem von \( U \), so sind auch \( f\left(u_{1}\right), f\left(u_{2}\right), f\left(u_{3}\right) \in V \) ein Erzeugendensystem von \( V \).

c) Es gilt: \( \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V \).

d) Es gilt: \( \operatorname{dim} U \geq \operatorname{dim} V \).

Answer 1

a) Ich glaube beinahe, das stimmt alles nicht.

Nimm doch die Abbildung, die alles auf 0 abbildet, die ist linear und a) jedenfalls falsch.

b) Die drei Bildvektoren erzeugen zwar Bild(f), aber das muss ja nicht ganz V sein, also auch falsch.

c) d) auch hier hat die Dimension allenfalls was mit Bild(f) zu tun bei U und V kann alles sein größer, kleiner oder gleich.