Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: Ist U_3 ein Unterraum von \mathbb{R}^{\mathbb{R}}?

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen

i) \(U_3 = \{ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \ | \ f(x^2) = f(x)^2 \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\) ist ein Unterraum von \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)

ii) \(U_4 = \{([i]_3,[j]_3) \ | \ [i]_3 + [2]_3 \cdot [j]_3 = 0\}\) ist ein Unterraum von \( \mathbb{Z}^2_3\)

Problem/Ansatz:

Hab bis jetzt ähnliche Aufgaben gemacht, aber konnte sie nur beweisen (oder widerlegen), als jemand mir sagte, ob sie Unterräume sind oder nicht. Meistens habe ich die Definition mit den inneren und äußeren Verknüpfungen benutzt.

Hab hier zwei Aufgaben herausgesucht, in denen ich gerne eine Schritt-für-Schritt-Vorgehensweise sehen möchte, damit ich es verstehen kann.

Answer 1

Bei so einer "Beweisen oder widerlegen" - Aussage

würde ich immer mal erst Beispiele testen:

Hier bei i)  vielleicht erst mal f,g suchen, die in U₃ sind.

z.B.   f(x)=x^2  und g(x)=x^4 , da wirst du schnell sehen,

dass f+g nicht in U₃ liegt, also kann es kein Unterraum sein.

Comments

Ah, verstehe. ginge das auch mit skalarer Multiplikation? also f und 2f?

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Ja klar, wenn additiv oder homogen nicht klappt,

ist es kein Unterraum.