Widerlegen und belegen von Aussagen zu Unterraum und linearer Abbildung

Question

kann mir jemand beim Widerlegen der Aussagen ( bei denen, bei denen es nötig ist) helfen? Ein Gegenbeispiel reicht ja zum widerlegen. hoffe, man kann es lesen!

Seien U ⊆ ℝⁿ, V ⊆ ℝ^k    Unterräume von ℝⁿ  bzw. ℝ^k. Sei f : U → V eine lineare Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) Sind u₁, u₂, u₃ ∈ U linear unabhängig, so sind auch f(u₁), f(u₂), f(u₃) ∈ V linear unabhängig.
b) Bilden u₁, u₂, u₃ ∈ U ein Erzeugendensystem von U, so sind auch f(u₁), f(u₂), f(u₃) ∈ V ein Erzeugendensystem von V .
c) Es gilt: dim U ≤ dim V .
d) Es gilt: dim U ≥ dim V .
Begründen Sie Ihre Antworten.

Answer 1

a) Ich glaube beinahe, das stimmt alles nicht.
Nimm doch die Abbildung, die alles auf 0 abbildet, die ist linear
und a) jedenfalls falsch.
b) Die drei Bildvektoren erzeugen zwar Bild(f), aber das muss ja nicht
ganz V sein, also auch falsch.
c) d) auch hier hat die Dimension allenfalls was mit Bild(f) zu tun
bei U und V kann alles sein  größer, kleiner oder gleich.

Comments

..hab mich da jetzt etwas reingefuchst und verstehe zumindest die aufgabenteile b, c) und d).

könntest du deine begründung dazu, dass a) ebenfalls falsch ist, nochmal näher erläutern? so ganz klar ist mir das noch nicht.