Ist U = {(x,y) aus R^2 | x+ 2y^2 =0} ein Unterraum von R^2? beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

U = {(x,y) aus R² | x+ 2y² =0} 

Problem/Ansatz:

Ist U  ein Unterraum von R²  ??

Der Span wäre ja <(1,2y)> wäre das noch in U drin ?

Comments

Wie sieht es denn mit der Summe zweier Paare aus U aus? Ist diese auch wieder Element?

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hmm also der nullvektor ist schonmal drinn wenn man x und y = 0 wählt. auffällig wird es das 2y^2 ja nie negativ sein kann und x gebunden ist negativ zu sein

da aber x beliebig ist und durchaus mal positiv sein kann denke ich das es kein unterraum sein kann da sonst nicht x+2y^2 = 0 rauskommen kann

Answer 1

Hallo,

eines der UVR-Kriterien ist doch

\( \forall v,w\in U: v + w\in U\)

Betrachte \( v = \begin{pmatrix} -2\\1\end{pmatrix}\in U \) und \( w = \begin{pmatrix} -8\\2 \end{pmatrix} \in U \)

Es gilt:

\( v + w = \begin{pmatrix} -10\\3 \end{pmatrix} \), doch \( -10 + 2 \cdot 3^2 = 8 \neq 0 \), damit ist \( v + w \not\in U\) und U daher kein UVR.

Answer 2

U = {(x,y) aus R^2 | x+ 2y^2 =0}

Schon das Quadrat ist verdächtig, da echte Unterräume des R^n Geraden sind. Daher ist dien Behauptung "Kein Unterraum" vernünftig.

x + 2y^2 = 0 kannst du dank f(y) = x = -2y^2 "quer" ins Koordinatensystem zeichnen. 

Nutze die "Biegung" aus, wenn du ein Gegenbeispiel suchst.

Z.B. liegen (-2|1) und (-2|-1) auf der Parabel. Aber (-2|1) + (-2|-1) = (-4|0) nicht. Gegenbeispiel gefunden! U ist kein UVR von R^2. q.e.d.

Ergänzug: Das Ding heisst Span und nicht Spam. Habe das in deiner Fragestellung berichtigt. 

Der Span wäre ja <(1,2y)> wäre das noch in U drin ? 

musst du aber grundsätzlich nochmals überdenken und erst mal nachrechnen.