Differentialgleichungen lösen

Question

Hallo an alle!

Aufgabe:

Ich soll hier die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen bestimmen.

Der Ansatz ist da, aber ich komme nicht weiter. Wie muss ich da weiterrechnen? Habe ich überhaupt die Eigenwerte richtig bestimmt. Könnt ihr mir BITTE weiterhelfen, da ich wirklich verwirrt bin, was die Aufgabe anbelangt.

Also ich habe mal so angefangen:

\( y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=e^{2 x} \)
\( y_{1}=y \)
\( y_{2}=y^{\prime} \)
\( y_{1}^{\prime}=y_{2} \)
\( y_{2}^{\prime}=-y^{\prime}-2 y+e^{2 x}=-y_{2}-2 y_{1}+e^{2 x} \)
\( \left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ e^{2 x}\end{array}\right) \)
EW: \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1 \\ -2 & -1-\lambda\end{array}\right)=-\lambda \cdot(-1-\lambda)+2 \)
\( =\lambda+\lambda^{2}+2=\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{2}= \)
\( \left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}=0 \)
\( \left(\lambda+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4} \)

1. Fall: \( \quad \lambda+\frac{1}{2} \geqslant 0 \)
\( \lambda+\frac{1}{2}=-\frac{9}{4} \)
\( \lambda=-\frac{9}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{11}{4} \)
2. Fall: \( \lambda+\frac{1}{2}<0 \)
\( \lambda+\frac{1}{2}=\frac{9}{4} \)
\( \lambda=\frac{7}{4} \)
\( \Rightarrow y=c_{1} \cdot e^{-\frac{9}{4} x}+x \cdot c_{2} \cdot e^{\frac{7}{4}} \)
AV: \( \lambda=-\frac{9}{4} \Rightarrow\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{4} & 1 \\ -2 & -1+\frac{9}{4}\end{array}\right) \leadsto \)
\( \sim\left(\begin{array}{cc|c}\frac{9}{4} & 1 & 0 \\ -2 & \frac{5}{4} & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}\frac{0}{4} & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 0\end{array}\right) \sim \)
\( \left(\begin{array}{cc|c}9 & 4 & 0 \\ -8 & 5 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ll|l}9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc|c}1 & \frac{4}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

\( \Rightarrow\left(\begin{array}{c}\frac{4}{9} \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}\frac{4}{9} \\ -1\end{array}\right) \quad t=1 \)
\( \Longrightarrow\left(\begin{array}{c}\frac{8}{9} \\ -1\end{array}\right) \)

Comments

Und so sind wir in der VO vorgegangen. Das ist zwar eine andere Aufgabe, aber ich poste sie trotzdem, damit ihr nachvollziehen könnt, wie ich hier gerechnet habe. Hier hatten wir 2x denselben Eigenwert.

\( y_{1}^{\prime}=y_{2} \)
\( y_{2}^{\prime}=-4 y_{2}-4 y_{1}+x^{2}=-4 y_{1}-4 y_{2}+x^{2} \)
\( \left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -4 & -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0 \\ x^{2}\end{array}\right) \)
\( \left.\Leftrightarrow y=c_{1} e^{-2 x}+x c_{z} e^{-c_{x}}\right) \)
Ev: \( \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -4 & -2\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ll|l}2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll|l}1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
ew. \( \sharp v\left(\begin{array}{cc|c}2 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & -2\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{ll|l}2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{l}\frac{1}{2} \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right) \quad t=1 \Rightarrow\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \)
\( y_{a}=c_{1} e^{-2 x}\left(\begin{array}{c}n \\ -2\end{array}\right)+c_{2} e^{-2 x}\left(x\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1 \\ -n\end{array}\right)\right) \)
\( y_{a_{1}}=c_{1} e^{-2 x} 1+c_{2} \cdot e^{-2 x}(x+1)=d_{1} e^{-2 x}+d_{2} x e^{-2 x} \)
\( Y=\left(\begin{array}{cc}e^{-2 x} & e^{-2 x}(x+1) \\ -2 e^{-2 x} & e^{-2 x}(-2 x-1)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{7}\end{array}\right) \)

\( \operatorname{dot}(G)=e^{-n x}(-2 x-1)+2 e^{-n x}(x+1)=e^{-n x}\left(-x x-1+x_{x+1}\right)= \)
\( \Rightarrow c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{dat}\left(\begin{array}{cc}0 & e^{-2 x}(x+1) \\ x^{2} & e^{-2 x(-2 x-1)}\end{array}\right)}{e^{-4 x}}=\frac{-e^{-4 x}}{-x^{2} e^{-2 x}(x+1)}=-\left(x^{3}+x^{2}\right) e^{2 x} \)
\( \Rightarrow C_{1}=-f\left(x^{3}+4^{2}\right) e^{2 x} d x=\ldots=-\frac{1}{8} e^{2 x}\left(4 x^{3}-2 x^{2}+2 x-1\right) \)
\( c_{2}^{1}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{-2 x} \\ -2 e^{-2 x} & x^{2}\end{array}\right)}{e^{-4 x}}=\frac{x^{2} e^{-2 x}}{e^{-2 x}}=x^{2} e^{2 x} \)
\( c_{2}=\int x^{2} e^{2 x} d x=\frac{1}{4} e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right) \)
\( y_{p}=\left(\begin{array}{cc}e^{-2 x} & e^{-2 x}(x+2) \\ -2 e^{-2 x} & e^{-2 x}(-2 x-1)\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}-\frac{1}{8} e^{2 x}\left(4 x^{3}-2 x^{2}+2 x-1\right) \\ \frac{7}{4} e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right)\end{array}\right)= \)
\( =\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{8}\left(4 x^{3}-2 x^{2}+2 y-1\right)+\frac{1}{4}(x+1)\left(2 x^{2}-2 x+1\right) \\ \frac{1}{4}\left(4 x^{3}-2 x^{2}+2 x-1\right)+\frac{1}{4}(-2 x-7)\left(2 x^{2}-2 y+1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} \\ \frac{x}{2}-1\end{array}\right) \)
\( y=c_{1} c^{-2 x}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)+c_{2} e^{-2 x}\left(x\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}7 \\ -1\end{array}\right)\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} \\ \frac{x}{2}-1\end{array}\right) \)
\( y_{1}=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} \cdot x \cdot e^{-2 x}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{2}+\frac{3}{8} \)