Differentialgleichungssysteme/Differentialgleichungen lösen

Question

Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe: Löse folgende Differentialgleichungssysteme

j) \( \begin{array}{rl}y_{1}^{\prime} & =y_{1}+e^{x} \\ y_{2}^{\prime} & =y_{1}+y_{2}-e^{x} \\ \left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{x} \\ -e^{x}\end{array}\right) \\ \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}1-\lambda & 0 \\ 1 & 1-\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda) \cdot(1-\lambda)=\lambda \\ \lambda=1 & k \lambda_{2}=1 \\ \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe Leute. Ich muss bis morgen diese Aufgabe verstehen (da ich geprüft werde), aber ich komme nicht weiter. Wie muss ich hier weiterrechnen?? Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, da ich bis morgen die Rechnungen drauf haben muss.

Comments

Du hast Dich verrechnet:

$$det(...)=(1-\lambda)(1-\lambda) \neq \lambda$$

Hier ist \(\lambda=1\) eine doppelte Nullstelle. Das Gleichungssystem für die Eigenvektoren ist:

$$\begin{pmatrix}0&0&\mid &0 \\ 1&0&\mid &0\end{pmatrix}$$

Dies liefert nur den Eigenvektor \((0,1)\).

Jetzt musst Du in Deinem Lehrmaterial nachschauen, was Ihr dann tun müsst.

Answer 1

Hallo,

\( \operatorname{det}(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 0 \\ 1 & 1-\lambda\end{array}\right|=0 \)

Da 1 eine doppelte Nullstelle ist , muß man den Hauptvektor berechnen:

Der Eigenvektor ist:

\( \left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \)

Hauptvektor berechnen:

\( \begin{aligned} & \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) v_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \\ \rightarrow & y_{1}=1 & y_{2}=0 \\ \rightarrow & v_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\end{aligned} \)

\( y_{h}=C_{1} e^{t}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+C_{2} e^{t}\left(t\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\right) \)

Weiter mit Variation der Konstanten oder Ansatz mit der rechten Seite.