Bestimmung der Dimensionen und Basis U1, U2, U1 + U2 und U1 ∩U2.

Question

Aufgabe:

Es seien die Untervektorräume

U1 = span{(0,1,2), (1,1,1), (3,5,7)} und

U2 = span{(1,1,0), (−1,2,2), (2,−13,−10), (2,−1,−2)} des R^3 gegeben.

Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von U1, U2, U1 + U2 und U1 ∩U2.

Answer 1

span{(0,1,2), (1,1,1), (3,5,7)}

3 *(0,1,2)  + 2* (1,1,1)  =  (3,5,7)

Also kannst du den letzten weglassen.

(0,1,2) , (1,1,1)  sind lin. unabh.

bilden also eine Basis.

==>  dim = 2

span{(1,1,0), (−1,2,2), (2,−13,−10), (2,−1,−2)}

Den 3. und 4. kannst du als Lin.komb.

der ersten beiden darstellen, also

(1,1,0), (−1,2,2) Basis und dim = 2

U1 + U2 = span{(0,1,2), (1,1,1),(1,1,0), (−1,2,2) }

U1 ∩U2  bestimme Lösungen für

x*(0,1,2)+y* (1,1,1) = a*(1,1,0)+b(−1,2,2)

Comments

eine Frage, wie hast du bei U₂ so schnell erkannt, dass sich der dritte und vierte Vektor jeweils als Linearkombination der ersten beiden schreiben lassen? Gibt es eine Methode, um das herauszufinden?

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Wenn du das nicht so gut durch "Hinsehen" erkennst5.

Mach einfach ein Gl.system daraus:

x*v1+y*v2 + z*v3 = v4   etc.

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Alles klar; danke!!!