Kurvenbestimmung 3. Grades mit ganzrationalen Zahlen

Question

Aufgabe: Steckbriefaufgabe

Bestimmen Sie eine gazrationale Funktion  3. Grades, die im Ursprung und im Punkt A(1/1) ihre Extrempunkte besitzt.

Problem/Ansatz:

Ansatz:

- Funktion 3. Grades: f (x) = ax³ + bx²  + cx + d

- Ursprung ist ein Kurvenpunkt: f(0) = 0 -> d = 0

- Extrempunkt:  A(1/1) -> f (1) = a + b + c + d = 1

- Extrempunkt:  (0/0) -> f (0) = 0 -> f' (0) = 0

Problem:

Wie weiter um das richtige Resultat zu haben?

Das richtige Resultat wäre : f (x) = -2x² + 3x²

Answer 1

Bestimmen Sie eine gazrationale Funktion  3. Grades, die im Ursprung und im Punkt A(1/1) ihre Extrempunkte besitzt.

Bedingungen

f(0)=0 --> d = 0
f'(0)=0 --> c = 0
f(1)=1 --> a + b + c + d = 1
f'(1)=0 --> 3a + 2b + c = 0

Lösung

f(x) = -2·x^3 + 3·x^2

Answer 2

eine gazrationale Funktion  3. Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

im Ursprung und im Punkt A(1/1) ihre Extrempunkte besitzt.

f´(1) = 3a + 2b + c = 0
f(1) = a + b + c + d = 1
f´(0) = c = 0
f(0) = d = 0

Löse das LGS, da c = 0 und d = 0, hast du noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

I. 3a + 2b = 0

II. a + b = 1

zur Kontrolle: a = -2, b = 3

=> f(x) = -2x^3 + 3x^2