Intensitätsform der Produktionsfunktion Y_{t} = K_{t}^(0.4)(A_{t} N_{t} )^(0.6) und was muss ich für delta benutzen?

Question

Gegeben sei eine Volkswirtschaft, deren gesamtwirtschaftliche Produktion durch die Funktion
Y_{t} = K_{t}^{0,4} (A_{t} N_{t} )^{0,6}
beschrieben wird, wobei Y_{t} die Produktion, A_{t} die Produktivität, K_{t} den Kapitalstock und N_{t} die Zahl
der arbeitenden Bevölkerung jeweils zum Zeitpunkt darstellen. Des Weiteren gilt 0 < alpha < 1. Es wird ein konstanter Anteil mit 0 < s< 1 des Einkommens gespart. Gleichzeitig wird in jeder Periode ein Anteil delta > 0 des Kapitalstocks unbrauchbar. Die Wachstumsrate der Bevölkerung ist n > 0.


a) Stellen Sie die Produktionsfunktion in Intensitätsform dar und berechnen Sie den Kapitalstock k*, den Output y* und den Konsum c*– jeweils pro Arbeitseffizienzeinheit und im Steady State.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte hier die Produktionsfunktion in Intensitätsform und für die Berechnung von Kapitalstock *, den Output * und den Konsum * , jeweils das delta, aber Ich weiß nicht welche größe delta sein soll. In der Aufgabe steht nur delta>0, das gibt mir ja aber keine spezifische Zahl zum einsetzten in meine Funktion. Kann mir vielleicht einer weiterhelfen?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Intensitätsform der Produktionsfunktion und Berechnung von \(k^*\), \(y^*\) und \(c^*\)

Um die gegebene Produktionsfunktion \(Y_{t} = K_{t}^{0.4} (A_{t} N_{t} )^{0.6}\) in Intensitätsform umzuwandeln, definieren wir zuerst die Intensitätsvariablen. Dabei wird jede Variable auf eine Arbeitseffizienzeinheit normiert. Die Kapitalintensität \(k_t\) ist definiert als das Verhältnis des Kapitalstocks \(K_t\) zur Anzahl der effektiven Arbeitseinheiten \(A_tN_t\), also \(k_t = \frac{K_t}{A_tN_t}\).

Da \(Y_t\) die Gesamtproduktion darstellt, definieren wir den Output pro Arbeitseffizienzeinheit, \(y_t\), als \(y_t = \frac{Y_t}{A_tN_t}\). Setzen wir die Definitionen in die gegebene Produktionsfunktion ein, erhält man:
\(y_t = k_t^{0.4}\)

In einem Steady State verändern sich die Kapitalintensität \(k\), der Output pro Arbeitseffizienzeinheit \(y\) und der Konsum pro Arbeitseffizienzeinheit \(c\) nicht. Die Sparquote \(s\) bestimmt, welcher Anteil des Outputs gespart und somit in den Kapitalstock investiert wird. Die Abschreibungsrate \(\delta\) gibt an, welcher Anteil des Kapitalstocks in jeder Periode ersetzt werden muss. Die Wachstumsrate der effektiven Arbeiter \(g_{A_tN_t}\) ist die Summe aus der Wachstumsrate der Bevölkerung \(n\) und der Wachstumsrate der Produktivität \(g_A\).

Die Änderung des Kapitalstocks \(k\) ist gegeben durch die Investitionen abzüglich der Abschreibungen. Im Steady State gilt, dass die pro-Kopf Kapitalakkumulation Null ist, was bedeutet:

\(s \cdot y = (n + g_A + \delta) \cdot k\)

Da du dich nach dem spezifischen Wert für \(\delta\) erkundigst, aber angemerkt hast, dass keine spezifische Rate gegeben ist, können wir \(\delta\) als einen gegebenen positiven Parameter betrachten, ohne einen spezifischen Wert zu verwenden. Für die weiteren Berechnungen müssen wir Annahmen über die Werte von \(s\), \(n\), und \(g_A\) treffen oder sie als Parameter behandeln.

Für eine intensive Form der Berechnung von \(k^*\), \(y^*\), und \(c^*\) ohne spezifischen Wert für \(\delta\), können wir jedoch nicht fortfahren, ohne konkrete Zahlenwerte oder eine weitere Beschreibung, wie \(\delta\) in Relation zu den anderen Parametern steht. In der Volkswirtschaftslehre wird häufig ein repräsentativer Wert für \(\delta\) gewählt, z.B. 0,05 (oder 5%), ohne spezifische Anweisungen.

Ohne konkrete Werte für \(s\), \(n\), \(g_A\), und \(\delta\) können wir die spezifischen Steady-State-Werte für \(k^*\), \(y^*\) und \(c^*\) nicht berechnen. Im Kontext dieser Aufgabe sollte \(\delta\) als bekannt angenommen oder aus den gegebenen Daten geschätzt werden.

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Intensitätsform der Produktionsfunktion

Um die gegebene Produktionsfunktion \(Y_{t} = K_{t}^{0,4} (A_{t} N_{t} )^{0,6}\) in Intensitätsform umzuwandeln, transformieren wir sie in eine Form, die den Output pro Effizienzeinheit der Arbeit darstellt. Dabei benutzen wir den Pro-Kopf-Kapitalstock \(k_{t} = \frac{K_{t}}{A_{t}N_{t}}\) und den Output pro Effizienzeinheit der Arbeit \(y_{t} = \frac{Y_{t}}{A_{t}N_{t}}\).

Ersetzt man \(K_{t}\) durch \(k_{t}A_{t}N_{t}\) und \(Y_{t}\) durch \(y_{t}A_{t}N_{t}\) in der ursprünglichen Produktionsfunktion, erhält man:

\( y_{t} = (k_{t})^{0,4} \)

Beachte, dass \(A_{t}N_{t}\) sowohl in der Basis als auch im Exponenten mit 0,6 auftritt und sich dadurch rauskürzt, wodurch die Intensitätsform der Produktionsfunktion bestimmt wird.

Delta im Zusammenhang mit dem Steady State

Delta (\(\delta\)) repräsentiert in der gegebenen Aufgabenstellung die Abschreibungsrate des Kapitalstocks. In einem makroökonomischen Modell wie diesem ist \(\delta\) ein wesentlicher Parameter, um den langfristigen oder Steady-State des Kapitalstocks \(k^*\), des Outputs pro Effizienzeinheit der Arbeit \(y^*\) und des Konsums pro Effizienzeinheit \(c^*\) zu bestimmen.

Ohne einen spezifischen Wert für \(\delta\) kann der exakte Steady-State-Wert dieser Variablen nicht bestimmt werden. In der Regel wäre \(\delta\) in einer solchen Aufgabenstellung gegeben oder müsste aus weiteren Informationen abgeleitet werden. Da die Aufgabe kein konkretes \(\delta\) angibt, können wir nur die generellen Formeln für den Steady State präsentieren, jedoch keine spezifischen numerischen Lösungen.

Im Steady State gilt für den Kapitalstock pro Effizienzeinheit der Arbeit \(k^*\):

\( sY_{t} = (n + \delta)K_{t} \)

Umgeformt zur Intensitätsform bedeutet das:

\( sk_{t}^{0,4} = (n + \delta)k_{t} \)

Für \(y^*\) und \(c^*\) benötigen wir konkrete Werte für \(\delta\), \(s\), und \(n\) zur Berechnung.

Fazit

Ohne einen gegebenen Wert für \(\delta\) können die spezifischen Steady-State-Werte für \(k^*\), \(y^*\) und \(c^*\) nicht bestimmt werden. Es wird lediglich ein allgemeiner Rahmen bereitgestellt, in dem \(\delta\) zusammen mit der Sparquote \(s\) und der Wachstumsrate der Bevölkerung \(n\) das langfristige ökonomische Gleichgewicht beeinflusst.