Parametrisierung einer Kurve.

Question

Aufgabe:

Durch die Menge
N := {\( \vec{x} \) ∈ \( ℝ^{2} \)| \( y^{2} \)=\( x^{3} \), y>0}

wird eine Kurve in \( ℝ^{2} \)  beschrieben. Geben Sie eine reguläre Parametrisierung dieser Kurve an und bestimmen Sie die Länge des Kurvenstücks vom Ursprung zum Punkt  \( \vec{x0} \) ∈ N.

Comments

Parametrisierung

y^2 = x^3 → x = y^(2/3)

X = [t^(2/3), t]

Answer 1

Eine Parametrisierung wäre$$y=t^3, \quad x=t^2 $$Und die Länge \(s\) eines Kurvenstücks vom Ursprung bis \(x_0\) ist dann$$\begin{aligned} s &= \int_0^{x_0} \sqrt{\dot x^2 + \dot y ^2} \, \text{d}t \\ &= \int_0^{x_0} \sqrt{4t^2 + 9t^4} \, \text{d}t \\ &=  \int_0^{x_0} t \sqrt{4 + 9t^2} \, \text{d}t \\ &= \left. \frac 1{27} \left( 4 + 9t^2\right)^{\frac 32} \right|_0^{x_0=t_0^2} \\ &= \frac1{27} \left( \left( 4 + 9x_0 \right)^{\frac 32} - 8 \right) \end{aligned}$$

Comments

Deine Parametrisierung ist in 0 nicht regulär.

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Deine Parametrisierung ist in 0 nicht regulär.

Ja ... die Befürchtung hatte ich auch. Wobei ich nicht weiß, was das ist (reguläre Parametrisierung). Nach Wiki ...

Eine differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet;

... darf die Ableitung in keinen Punkt 'verschwinden' - was verstehen die unter 'verschwinden'?

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Und was jetzt?

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Verschwinden bedeutet =0. Die Parametrisierung vom Coach ist regulär. An der Berechnung der Bogenlänge sollte sich aber nichts ändern, ist ja nur die Anfangsstelle an der dieses Problem auftrat.

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Und was jetzt?

das ist eine berechtigte Frage!

nimmt man die Parametrisierung vom Mathecoach \(x=t^{\frac 23}, \space y=t\), so ist diese zwar regulär in \(\mathbb{R}\), aber das Integral zur Berechnung der Bogenlänge wird ziemlich ungemütlich.

Schaut man sich aber den Definitionsbereich an: $$N := \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \mid\, y^2=x^3,\, \colorbox{#ffff88}{y>0} \right\}$$dann ist alles wieder gut! Bei der Parametrisierung \(x=t^2, \space y=t^3\) und der Einschränkung \(y\gt 0\) gilt auch \(t\gt 0\). Und in diesem Bereich 'verschwindet' die Ableitung nie und sollte somit auch regulär sein - oder?

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Wir bekommen immer solche Aufgaben wo Fehler drin sind oder komische Probleme auftreten. Die war jetzt noch ganz angenehm. Hab gestern dann noch rausgefunden das sich das nicht aufs Ergebnis auswirkt.

Wäre nett wenn einer von ihnen sich meine Aufgabe zu aufgeteilten Funktionen anschauen würde. Da gibt es "unauffindbare" lokale minima und maxima