Aufgabe:
Es sei I ein Intervall und f : I → ℝ stetig mit sup f (I ) = ∞ und inf f (I ) = −∞.
Beweisen Sie f(I) = ℝ.
Problem/Ansatz:
Wenn sup f(I)= ∞ [ inf f(I)= -∞], ist sup f(I) [ inf f(I) ] das uneingentliche Supremum [ Infimum ] von f(I), was bedeutet das f(I) nach oben [ unten ] unbeschränkt ist. Ein Intervall, welches beidseitig unbeschränkt lässt sich schreiben als
(-∞;∞) = ]-∞;∞[ = ℝ
Reicht es dies zu zeigen oder wie sollte man sonst an diese Aufgabe herangehen?
