Brüche mit Potenzen und Variablen berechnen

Question

Musterlösung zu der Aufgabe:

$$ \left( \frac { 2 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { c ^ { 6 } } \right) ^ { 2 } : \left( \frac { c ^ { 4 } d ^ { - 4 } } { 4 a ^ { 4 } b ^ { 5 } } \right) ^ { - 3 } : \left( \frac { 4 a ^ { 3 } d ^ { 6 } } { b ^ { - 2 } } \right) ^ { - 2 } = \left( \frac { 2 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { c ^ { 6 } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \frac { 4 a ^ { 4 } b ^ { 5 } d ^ { 4 } } { c ^ { 4 } } \right) ^ { - 3 } \cdot \left( \frac { 1 } { 4 a ^ { 3 } b ^ { 2 } d ^ { 6 } } \right) ^ { - 2 } = \left( \frac { 2 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { c ^ { 6 } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \frac { c ^ { 4 } } { 4 a ^ { 4 } b ^ { 5 } d ^ { 4 } } \right) ^ { 3 } \cdot \left( \frac { 4 a ^ { 3 } b ^ { 2 } d ^ { 6 } } { 1 } \right) ^ { 2 } = \frac { 4 a ^ { 6 } b ^ { 12 } \cdot c ^ { 12 } \cdot 16 a ^ { 6 } b ^ { 4 } d ^ { 12 } } { c ^ { 12 } \cdot 64 a ^ { 12 } b ^ { 15 } d ^ { 12 } } = b $$

Normalerweise muss ich doch, um 2 Brüche miteinander zu multiplizieren, den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des 2. Bruchs mal nehmen und so rechnet man das dann auch aus.

Answer 1

 

wie Du richtig sagst, muss man zum Dividieren zweier Brüche den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren. 

Genauso hat man es in dieser Musterlösung auch gemacht. 

 

Lassen wir einmal den ersten Bruch außen vor, dieser ändert sich ja in den ersten drei Zeilen nicht. 

: [c⁴d^-4/(4a⁴b⁵)]^-3 : [4a³d⁶/b^-2]^-2

Nun wurde mit den Kehrwerten der beiden Brüche multipliziert, also jeweils Zähler und Nenner vertauscht. 

* [4a⁴b⁵/(c⁴d^-4)]^-3 

Da d^-4 = 1/d⁴ konnte man den Exponenten mit -1 multiplizieren und erhielt so d⁴ im Zähler

* [4a⁴b⁵d⁴/c⁴]^-3

In der nächsten Zeile machte man den Exponenten des Bruchs -3 zu +3, drehte den Bruch also erneut um:

* [c⁴/(4a⁴b⁵d⁴]³

Der "blaue Bruch" wurde zu

* [b^-2/(4a³d⁶)]^-2

Dann multiplizierte man Zähler und Nenner mit b², und weil b² * b^-2 = b^2-2 = b⁰ = 1, ergab sich:

* [1/(4a³b²d⁶)]^-2

Nun machte man den Exponenten des Bruchs -2 zu +2, drehte den Bruch also erneut um: 

* [(4a³b²d⁶)/1]²

 

Letzte Zeile dürfte klar sein: Exponenten der Klammern mit den Exponenten innerhalb der Klammern multiplizieren und dann kürzen. 

 

Besten Gruß

Comments

Hi, danke erstmal für die ausführliche Erklärung!

 

Aber wieso kann ich d^-4 mit -1 multiplizieren und was ich auch nicht so ganz durchblicke ist wenn ich 1/d⁴ x -1 rechne bekomme ich doch wieder einen negativen Exponenten raus?

M.f.G.

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Gern geschehen :-)

Da habe ich mich wohl nicht ganz korrekt ausgedrückt.

Was ich meinte, war folgendes: 

1/d^-4 bedeutet, dass d⁴ im Nenner des unteren Bruchs steht, also 

1/d^-4 = 1 / (1/d⁴)

Und durch einen Bruch wird bekanntlich dividiert, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruchs multipliziert, also

1 / (1/d⁴) = 1 * (d⁴/1) = d⁴

Ich habe also nicht d^-4 mit (-1) multipliziert, sondern nur das -4. So wurde d^-4 zu d⁴, aber ich musste Zähler und Nenner vertauschen. 

Jetzt ein wenig klarer?

Besten Gruß